正方形性质与判定的综合应用.ppt

第一章 特殊平行四边形;名师点金;;∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB. ∴∠AOE＝∠DOF＝90°. ∵DE＝CF，∴OE＝OF. ∴△AOE≌△DOF. ∴∠OAE＝∠ODF. ∵∠DOF＝90°， ∴∠DFO＋∠FDO＝90°. ∴∠DFO＋∠FAE＝90°. ∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.;;(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易 证：BM＋DN＝MN. 当∠MAN绕点A旋转到 BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还 成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请 说明理由． (2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线 段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，并说明理由．;(1)仍有BM＋DN＝MN成立． 证明如下： 过点A作AE⊥AN，交CB的延长线 于点E, 易证△ABE≌△ADN， ∴DN＝BE，AE＝AN. 又∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM， ∴△EAM≌△NAM. ∴ME＝MN. ∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM， ∴BM＋DN＝MN .;(2)DN－BM＝MN. 理由如下： 如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD. 又∵BM＝DE， ∴△ABM≌△ADE. ∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.;∵∠DAB＝90°， ∴∠MAE＝90°. ∵∠MAN＝45°， ∴∠EAN＝45°＝∠MAN. 又∵AM＝AE，AN＝AN， ∴△AMN≌△AEN. ∴MN＝EN. ∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN. ∴DN－BM＝MN.;;(1)求证：CE＝AD. (2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特 殊四边形？请说明理由． (3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么 条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．;(1)∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE. ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形． ∴CE＝AD.;(2) 四边形BECD是菱形． 理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE. ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD. ∴四边形BECD是菱形．;(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形， 理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴AC＝BC. ∵点D为AB的中点，∴CD⊥AB. ∴∠CDB＝90°. ∵四边形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形??? 即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．;;(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的 四边形PQRS总是正方形． (2)四边形PQRS在什么时候面积最大？ (3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积 的一半？并说明理由．;(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA. 又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS， ∴PB＝QC＝RD＝SA. ∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS. ∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ. ∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形．;又∵∠APS＋∠ASP＝90°， ∴∠APS＋∠BPQ＝90°. ∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ) ＝180°－90°＝90°. ∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形． (2)当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积 最大，此时的面积就等于正方形ABCD的面积．;解：;同理可得BQ＝CR＝SD＝ a. ∴当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS的面积是正方形 ABCD面积的一半．