二项分布中职数学拓展模块34高教版2.ppt

第三章 概率与统计 3.4 二项分布 ? 创 设 情 境 兴 趣 导 入 我们来看一个问题：从 100 件产品中有 3 件不合格品，每次抽 ? 取一件有放回地抽取三次，抽到不合格品的次数用 ? 表示，求离 ? 散型随机变量 的概率分布． 由于是有放回的抽取，所以这种抽取是是独立的重复试验． 随机变量 的所有取值为： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ．显然，对于一次抽取， 抽到不合格品的概率为 0.03 ，抽到合格品的概率为 1 － 0.03 ．于是 0 1 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ， ， ， 的概率（仅求到组合数形式）分别为： 0 0 3 3 ( 0) 0.03 (1 0.03) P C ? ? ? ? ? ? ， 1 2 3 ( 1) 0.03 (1 0.03) P C ? ? ? ? ? ? ， 2 2 3 ( 2) 0.03 (1 0.03) P C ? ? ? ? ? ? ， 3 3 0 3 ( 3) 0.03 (1 0.03) P C ? ? ? ? ? ? ． ? 所以，随机变量 的概率分布为 ? 0 0 3 3 0.03 (1 0.03) C ? ? ? 1 2 3 0.03 (1 0.03) C ? ? ? 2 2 3 0.03 (1 0.03) C ? ? ? 3 3 0 3 0.03 (1 0.03) C ? ? ? P 3 2 1 0 动 脑 思 考 探 索 新 知 一般地，如果在一次试验中某事件 A 发生的概率是 P ，随机 变量 ? ? 为 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，那么随机变量 的 概率分布为： ? 0 0 (1 ) n n C p p ? 1 1 1 (1 ) n n C p p ? ? (1 ) k k n k n C p p ? ? 0 (1 ) n n n C p p ? … … P … … 0 n k 1 其中 0 1 0 1 0 1 2 p q k n ? ? ? ? ? ， ， ， ， ， ， ． ? 我们将这种形式的随机变量 的概率分布叫做 二项分布． 称 ? 随机变量 服从 参数为 n 和 P 的二项分布 ，记为 ? ~ B （ n ， P ）． 二项分布中的各个概率值，依次是二项式 [(1 ) ] n p p ? ? 的展 开式中的各项．第 k +1 项 1 k T ? 为 ( ) (1 ) k k n k n n P k C p p ? ? ? ． 二项分布是以伯努利概型为背景的重要分布，有广泛的应用． 在实际问题中，如果 n 次试验相互独立，且各次实验是重复试 验，事件 A 在每次实验中发生的概率都是 p (0 ＜ p ＜ 1) ，则事件 A 发 ? 生的次数 是一个离散型随机变量，服从参数为 n 和 P 的二项分布． 巩 固 知 识 典 型 例 题 例 6 口袋里装有 4 个黑球与 1 个白球，每次任取一个球，观察 后放回再重新抽取．求抽取 3 次所取到的球恰好有 2 个黑球的概率． 解 由于是有放回的抽取，所以 3 次抽取是相互独立的．而且 是在相同条件下进行的重复试验．每次抽取中，取到黑球的概率 都是 4 5 p ? ，取到的不是黑球的概率都是 1 5 ．三次抽取，取到黑球 的个数 ? 是一个离散型随机变量，服从 4 3 5 n p ? ? ， 的二项分布． 即 4 3 5 B ? ? ? ? ? ? ? ? ， ． 事件 2 ? ? 表示抽取 3 次所取到的球恰好有 2 个黑球．其概率为 2 2 2 3 4 1 48 ( 2) C 3 ( ) 5 5 125 P p q ? ? ? ? ? ? ? ． 即抽取 3 次所取到的球恰好有 2 个黑球的概率为 48 125 ． 巩 固 知 识 典 型 例 题 例 7 在人寿保险中，如果一个投保人能获得 65 岁的概率 为 0.6 ，那么三个投保人能够活到 65 岁的概率是多少？作出三个 投保人中能活到 65 岁的人数 的概率分布与概率分布图． ? 解 记 A ={ 一个投保人能活到 65 岁 } ，则 A ={ 一个投保人 活不到 65 岁 } ．于是 ( ) 0.6, ( ) 1 0.6 0.4 P A P A ? ? ? ? ． 且随机变量 (3 0.6) B ? ? ， ． 因此 3 3 0 3 3 (3)