12-3幂级数小结知识课件.ppt

* * * 例8 解 例9 解 先求收敛域 利用性质3，逐项求导，并由 常用已知和函数的幂级数 练习1、 解 练习2. 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 作业 P277 1. （1, 3, 5，7） P277 2.（1,3） * * * * * * * 运行时, 点击相片, 或按钮“阿贝尔” 可显示阿贝尔简介, 并自动返回. * * * * * * * * * * * * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 数项级数收敛性判断流程图 比较法 比值法 定义法 根式法 是 是 是 否 否 否 否 小结 第三节 幂级数 一、函数项级数及其收敛域 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 常数项级数 数 数 常数项级数 函数 函数 设 为定义在区间 I 上的函数 为定义在区间 I 上的 函数项级数. , 称 对 若 收敛, 为其收 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 发散 , 为其发散点, 所有 发散点的全体称为其发散域 . 一、 函数项级数及其收敛域 解 由比值判别法 原级数绝对收敛. 例1 分析: 考虑级数 原级数发散. 收敛 1、定义 (1) 特点： 1、幂级数(1)的每一项都是非负整数幂的幂函数 2、幂级数(1)完全由系数构成的数列{ }来决定 标准幂级数 二、幂级数及其收敛性 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 解: (1) 级数的收敛域为 (2) 级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 定理 1. ( Abel定理 ) 收敛区域 发散区域 发散区域 推论 收敛区域 发散区域 发散区域 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛区间. 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 收敛域为 关于原点的对称区间 定理2 证 由比值审敛法, 证毕 定理2 注： 收敛半径的计算公式 2、公式的应用要求x的幂不能有间隔，否则失效. 3、幂级数在收敛区间（-R，R）的端点的收敛性，没有一般的结论，具体问题要具体分析。 即求收敛域：先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 即形如: 可以借助于常数项级数的比值或根值审敛法求收敛半径. 1、幂级数 勿忘！ 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 例3.求幂级数 级数为 交错级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 的收敛半径 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 由比值审敛法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接 法I 法II 令 ,则级数变为 即 故原级数收敛半径为 例5. 的收敛域. 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 级数为 此级数发散; 当 t = – 2 时, 级数为 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 课堂练习： 用代换t=(x-1)/2，，求幂级数的收敛域？ 1.代数运算性质: (1) 加减法 三、幂级数的运算 (2) 乘法 柯西乘积 (3) 除法 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多. 2.和函数的分析运算性质: 性质1 性质2 逐项积分后所得到幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 逐项求导后所得到幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质2与3说明：关于有限和的“和的积分等于积分 的和”以及“和的导数等于导数的和”这两个性质可以无例外地推广到这里来 . 例6.从已知的幂级数 出发，利用幂级数逐项微分的运算性质，证明： 证明： 解 两边积分得 例7 级数的收敛域为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 * * * * * * * 运行时, 点击相片, 或按钮“阿贝尔” 可显示阿贝尔简介, 并自动返回. * * * * * * * * * * * * * * * * * *