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均值不等式的证明;
对于正数n个正数 ( i=1,2...n)。我们把
;;
一、现证明
我们观察到 G(n)为很多个数连乘,而A(n)为很多数相加,而对数函数正有联系乘与加的性质,在此处引入一不等式 可用导数进行证明,且x=1时取到等号)
接下来进入证明
证明:设
则有
两边做累加得
;由lnx的递增性,
得到
移向,开n次方,得
即
二、由(1),把不等式中 换为 取倒数,得
即;三、显然二次函数
恒成立
由
此即著名的柯西不等式
即
;综上(1)(2)(3)可得均值不等式
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