人教B高中数学必修第四册素养突破关键能力·素养形成 9 正 弦 定 理 含解析.docVIP

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 关键能力·素养形成 类型一　利用正弦定理解三角形 【典例】(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c. (2)在△ABC中,c=,C=60°,a=2,求A,B,b. 【思维·引】(1)先求A,然后利用正弦定理求解. (2)利用正弦定理求角A时,要注意解的个数的判断,再利用正弦定理求解. 【解析】(1)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°,由正弦定理=,得b===4,由=, 得c====4. (2)因为=,所以sin A==. 所以A=45°或A=135°.又因为c>a,所以C>A.所以A=45°.所以B=75°, b===+1. 【内化·悟】 　在解三角形时,若已知角不是特殊角,应该如何处理? 提示:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特殊角转化为特殊角的和或差,如75°=45°+30°),再根据上述思路求解. 【类题·通】 1.已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. 2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 【习练·破】 1.(2020·烟台高一检测)已知△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于 (　　) A.2 B.1 C. D. 【解析】选D.由正弦定理=,得=,所以=,所以b=. 2.在△ABC中,若a=,b=2,A=30°,则C=________.? 【解析】由正弦定理=, 得sin B===. 因为0°<B<180°,所以B=45°或135°,所以C=180°-45°-30°=105°或C=180°-135°-30°=15°. 答案:105°或15° 类型二　三角形的面积问题 【典例】三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c. (1)求C角的大小. (2)若a=,求△ABC的面积. 【思维·引】(1)化简cos(A-C)+cos B=1,结合正弦定理求出角C. (2)利用(1)的结果求出A和B,用三角形的面积公式计算. 【解析】(1)因为A+B+C=180°,所以cos(A+C)=-cos B,因为cos(A-C)+cos B=1,所以cos(A-C)-cos(A+C)=1, 展开得:cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-sin Asin C)=1,所以2sin Asin C=1. 因为a=2c,根据正弦定理得:sin A=2sin C, 代入上式可得:4sin2C=1,所以sin C=,所以C=30°. (2)由(1)sin A=2sin C=1,所以A=90°. 因为a=,C=30°,所以c=,B=60°. 所以S△ABC=acsin B=×××=. 【类题·通】 　三角形面积问题的求解方法 对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. 【习练·破】 　(2019·运城高二检测)在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为 (　　) A.9 B.18 C.9 D.18 【解析】选C.由正弦定理得=,所以AC===6. 又因为C=180°-120°-30°=30°, 所以S△ABC=AC·BC·sin C=×6×6×=9. 类型三　正弦定理的综合应用 角度1　判断三角形的形状 【典例】(2019·昆明高二检测)在△ABC中,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C. 求证:△ABC为等腰直角三角形. 世纪 【思维·引】利用正弦定理,把条件中的角转化为边,再利用勾股定理的逆定理判断. 【证明】因为=,所以=, 又因为=,所以=, 所以a2=b2,即a=b,设===k(k≠0), 则sin A=,sin B=,sin C=,又因为sin2A+sin2B=sin2C,所以+=,即a2+b2=c2, 所以△ABC为等腰直角三角形. 【素养·探】 　判定三角形的形状时,判断和证明要掌握推理的基本形式和规则,形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质,突出体现逻辑推理的数学核心素养. 把本例的条件改为:acos=bcos,试判断△ABC的形状. 【解