中考专题讲练圆与三角函数.doc

B C D E A 中考新观察 专题讲练49圆与三角函数 专讲 例1.。如图,Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,AC=4, BC=2, 以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC .BC 相切于点D ,E 。 (1求⊙O 的半径。 (2求sin ∠BOC 的值。 证:(1:连OE,OD ,证四边形OECD 为正方形,设半径为R , 2 R =44R -, R=34; (2 10 10 3,作CM ⊥AB 于M ,易求AB=25.AB · CM=BC ·AC , ∴CM= 554,易求OC=R 2=32 4,∴sin ∠BOC=OC CM =10 103 【侧2】如图,等腰△ABC 中,AB=A C ,以AB 为直径作⊙O , 交BC 于点D ,DE ⊥AC 于点E 。 (1求证:DE 为⊙O 的切线: (2若BC=45,AE=1,求cos ∠AEO 的值。 解:(1连OD, ∠C=∠ABC=∠ODB. OD//AC,∴ ∠ODE= (2 ∠AEO=∠DOE, cos ∠AEO= cos ∠DOE= OE OD ,连DA.证CD=BD =25, 证△CDE ∽△CDA,CD 2 =CE ·CA=CE · (CE+1 ∴CE =4, DE=22CE CD -=2, OD= 21AC=25,OE=22OD DE +=2 41, ∴cos ∠AEO== cos ∠DOE= OE OD =41 415 ●专练 1.如图,已知Rt△ABC 和Rt△EBC,∠B=90°.以边AC 上的点D 为圆心, OA 为半径的⊙O 与EC 相切于点D ,AD∥BC. (l求证: ∠E=∠ACB: E B (2若AD=1, tan ∠ 答素:(1连OD ,证∠ACB=∠DAO=∠ODA=∠E. (2 tan ∠DAC=tan ∠ E=tan ∠ACB= 22, AE AD =BC AB =BE BC =2 2 ∵AD=1,∴AE=2,设AB=x ,则BC=2x ,∴x x 22= 2 2 ,∴x=2,BC=2x=2 2.如图,已知点0是Rt △ABC 的直角边AC 上一动点,以D 为圆心,OA 为半径的⊙O 交AB 于D 点, DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。 (l连结DF ,请你判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论 (2当点D 运动到OA=2OC 时,恰好有点D 是AE 的中点,求tan ∠B 。 证:O 相切,连 .证∠OAD=∠ ∠FDB=∠B ° 易证 AC =AB =3 ,△A OE∽△ACB ,∠AOE=∠C=90°. (2连OE , 又AD = DE,∴ AD= OD=OA ,∠A =60°, tan ∠B= tan30°= 3 3 A C F D 3.如图,在△ABC 中.AB=BC,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D .过D 作DF ⊥BC,交AB 的延长线于点E,垂足为F . (1求证;直线DE 是⊙O 的切线; (2 当AB=5,AC=8时,求cos ∠E 的值. 讧:(1连结OD 、BD ,证AD=DC ,∵ OA= OB , ∴OD∥BC ∵DE ⊥BC,∴DE ⊥ OD ,∴直线DE 是⊙O 的切线。 (2作DH ⊥ AB ,垂足为H ,易证∠E=∠ODH ,在Rt △ADB 中, BD= 22AD AB -=2245-=3,∵ AB ·DH=DA ·DB ,即5DH =3×4,∴ DH= 5 12, 在 Rt △ODH 中, cos ∠OOH= OD DH =2 5512=25 24 ,cos ∠E=2524 . 4.如图,Rt△ABC 中, ∠C=90°,BD 平分 ∠ABC ,以AB 上一点0为圆心, 过B 、D 两点作⊙O ,⊙O 交AB 于点E EF (1求证:⊙O 与AC 相切: (2若EF=2,BC =4,求tan ∠A 的值。 D P A B 解:①连OD, ∠EBD=∠ODB=∠DBC, OD//BC, OD ⊥AC (2设BC 交⊙O 于M,证矩形EFCM ,设OD 交EM 于N . EF= CM=ND=2,ON= 21BM=1,OD=3=2 1BE BE=6,∴ EM 22BM BE =42,tan ∠A=tan ∠BEM = EM BM =4 2 5.如图, △ABP 中,∠ABP=90°,以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ,在弧AC 上取一点 F ,使弧CF=弧CB ,过C 作AF 的垂线,垂足为M ,MC 的延长线交BP 于D 。 (1求证:CD 为⊙O 的切线。 (2连BF 交AP 于B 若BE=6,EF=2.求tan ∠FAE 。 AFB=∠M=90°,BF//DM. (2 2 2 ,方法一:证CD=BD=PD, △CDP∽△E