差分方程方法建模.doc

第七章 差分方程方法建模 §7.1 差分方程简介 在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款 是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。 这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型称为离散型模 型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 (1 )、函数的差分 设自变量t取离散的等间隔整数值:t= 0,±1,±2,· · · ，yt是t的函数，记作yt = f(t)。显然，yt的取值是 一个序列。 当自变量由t改变到t+ 1时，相应的函数值之差称为函数yt = f(t)在t的一阶差分，记作4yt，即 4y t = yt+1 ? yt = f(t+ 1)? f(t) 由于函数yt = f(t)的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。 其它定义： 数列A = a0,a1,a2,a3,· · ·的一阶差分是 4a 0 = a1 ? a 0 4a 1 = a2 ? a 1 4a 2 = a3 ? a 2 4a 3 = a4 ? a 3 对每个正整数n，第n个一阶差分是 4a n = an+1 ? a n 从图7-01中可以看到，一阶差分表示该序列两个相邻值的增加或减少，即在一个时间周期里序列图中的垂直 变化。 1 定义：一个序列就是定义域为全体非负整数集合上的一个函数，其值域为实数的一个子集。一个动力 系统就是序列各项之间的一种关系。数值解就是满足该动力系统的一张数值表。 按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数yt = f(t)在t的一阶差分的差分为函数 在t的二阶差分，记作4 2yt，即 4 t+1 ? 4y 2yt = 4(4yt)= 4y t = (yt+2 ? yt+1)? (y t) t+1 ? y = yt+2 ? 2yt+1 + yt 依次定义函数yt = f(t)在t的三阶差分为 4 3yt = 4(42yt)= 42yt+1 ? 42yt = 4yt+2 ? 24 yt+1 + 4y t = yt+3 ? 3yt+2 + 3yt+1 ? y t 一般地，函数yt = f(t)在t的n阶差分定义为 n yt = 4(4n?1yt)= 4n?1yt+1 ? 4 n?1yt 4 X n k n(n ? 1)· · · (n ? k + 1) = (?1) yt+n? k! k k=0 上式表明，函数yt = f(t)在t的n阶差分是该函数的n + 1个函数值，yt+n ，yt+n?1，· · · ，y t的线性组合。 例1.1 设yt = t2 + 2t? 3，求4yt，4 2yt。 解 4y t = yt+1 ? y t = (t+ 1 )2 + 2 (t+ 1)? 3? (t2 + 2t? 3) 2 = 2t+ 3 4 2yt = yt+2 ? 2yt+1 + yt = (t+ 2 )2 + 2 (t+ 2)? 3 ?2[(t+ 1 )2 + 2 (t+ 1)? 3] ?(t2 + 2t? 3) = 2 (2 )、差分方程的基本概念 定义：含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。 由于差分方程中必须含有未知函数的差分(自变量、未知函数可以不显含)。因此差分方程也可称为含有 未知函数差分的函数方程。 例如42yt ? 34 yt ? 3yt ? t= 0就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函 数yt = f(t)在不同点的函数值的线性组合。因此上述差分方程又可表示为 yt+2 ? 5yt+1 + yt ? t= 0 正因如此，差分方程又可定义为：含有自变量和未知函数在多个点的值的函数方程称为差分方程。差 分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说，差分方程中未知函数下标的最大差 数，称为差分方程的阶数。 n阶差分方程的一般形式可表示为 F (t,yt,4y 2yt,· · ·,4 t,4 n yt)= 0 或 F (t,yt,yt+1,· · ·,y t+n )= 0 若把一个函数yt = f(t)代入差分方程中，使其成为恒等式，则称yt = f(t)为差分方程的解。含有任意常 数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程的通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特 解。 用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件：一阶差分方程的初始条件为一个，一般是y0 = a0(常 数)；二阶差分方程的初始条件为两个，一般是y0 = a0，yi = a1(a0，a1是常数)；依次类推。 线性差分方程的基本定理 现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任