系统的稳定性分析[共84页].ppt

* * * * 二、线性定常离散系统稳定性分析 * * * * 是渐近稳定的。 正定，系统在平衡状态 ，矩阵 分母 时 当 P k ) 0 ( 2 ， 代入 I P PG G T - = - 解：设 是正定的， I Q 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é = = * 三、线性时变系统稳定性分析 * 4.4 李雅普诺夫稳定性理论的应用 思想：不稳定系统＋（校正）→稳定 * * * 由系统的模拟框图得到系统的状态方程： 系统的状态转移矩阵为 系统自由运动的状态轨迹为 运动轨迹有界，但不趋向于原点，属于李氏稳定 * 选取李氏函数为 则 若要使系统渐近稳定，要求 负定 选取 此时， 负定，在控制作用下，系统变得渐近稳定 系统本身不是渐近稳定，但可以通过适当的控制规律u， 使闭环系统渐近稳定。 * 引入状态反馈后，系统的模拟框图为 * 系统动态性能估算 渐进稳定系统时间常数的估计 系统的能量 系统能量的衰减速度 定义：设原点是系统的平衡状态，且系统在该平衡状态下是稳定的，则系统趋向于平衡状态的快速性能指标为： 由上式得： 的大小决定了 V(x) 衰减的速度 * 由于： 设 P 的特征值中， 最大值 最小值 则： 同样， Q 的特征值中， 最大值 最小值 则： * 由于： 则： * 由上图，可见 随时间的衰减曲线总包含在2条特征曲线之间。 从 到 所需的时间 ： 利用上面2个等式，即可估算出衰减时间 其中： * 利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题 (1) 优化问题的描述 ： 设系统 调节参数 使 极小。 (2) 必须渐进稳定，否则问无解。 为系统的可调参数 为系统的性能指标 * (3) 由 知存在 使得 令 由 (4) 注意到 P 是 的函数，调节 使 最小. 于是系统的性能指标为： 则 * 例 5.3.3 给定系统 达到最小值。其中 试确定 的值，使性能指标 * 解: 由 ，知 解得 于是有： * 将 代入上式，知 求解 J 的极值，令 于是得 即 表明当 等于该值时，使系统的性能 J 达到最小值 * 求最优控制 u 求U最优保证系统渐近稳定，设 u = -kx 使二次型指标 为最小。 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。 4.5.1 雅町比(Jacobian)矩阵法 雅可比矩阵法，亦称克拉索夫斯基(Krasovski)法，二者表达形式略有不同，但基本思路是一致的。实际上，它们都是寻找线性系统李雅普诺夫函数方法的一种推广。 设非线性系统的状态方程为： 式中， 为 维状态矢量；为与 同维的非线性矢量函数。 假设原点 是平衡状态， 对 可微， 系统的雅可比矩阵为： 则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称阵P ，使下列 矩阵 为正定的。并且 是系统的一个李雅普诺大函数。 如果当 时，还有 ，则系统在 是大范围渐 稳定。 Matlab在系统稳定分析中的应用 函数lyap()的主要调用格式为 P=lyap(A,Q) 其中,矩阵A和Q分别为连续时间李雅普诺夫矩阵代数方程 ATP+PA=-Q 的已知矩阵,即输入条件; 而P为该矩阵代数方程的对称矩阵解。 在求得对称矩阵P后,通过判定P是否正定,可以判定系统的李雅普诺夫稳定性。 * * * * * * * * * 电感储存的能量 电容储存的能量 电路中的总能量 能量随着时间的推移的变化率 考察电路存储的能量 * 讨论：如果 R = 0, , i, uc相互振荡，总量不变。 如果 R≠0， , 能量逐渐减小, 最终趋向于0。 最终结果 基本思想：从能量的观点，如果一个系统是渐近稳定的，其系统中储存的能量趋向于零 关键问题：如果找到一个完全表示系统能量的函数 V (x)？ 表明系统趋向于平衡点，渐近稳定 * 虚构能量函数 V (x)——李氏函数 既可以描述物理系统，又可描述社会系统，满足