ahp(层次分析法)示例说明.docx

AHP( 层次分析法 )示例说明 AHP（层次分析法）示例说明 (The Analgtic Hierarachy Process----AHP) . AHP 预备知识 为了更好地理解 AHP ，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。 1.1 特征根与特征向量 设 A aij m n 为 n 阶方阵，若存在常数 和非零 n 维向量 g ( g1 , g 2 , , gn ) ，使得 Ag g (1) 则称， 是矩阵 A 的特征根（或特征值） ，非零向量 g 是矩阵 A 关于特征根 的特征向量。 1.2 特征根的求法 由 (1)得 Ag g 0 A E g 0 ，这是一个 n 元一次线性齐次方程组，该方程组如果 有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即 A E 0 (2) (2) 式为矩阵 A 的特征方程，它是一个一元n 次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只 n 个根。 1.3 重量模型 设 u1 ,u2 , , un 为 n 个物体，重量分别是 g1 , g2 , , gn 。但是，我们并不知道物体的重量，只 知两两之间重量比的比值： aij gi g j 设准则 C 为比较重量，问题是： 已知 aij (1 i, j n) ，在准则 C 下对元素 u1 ,u2 , , un 排序，也就是按其重量大小排序已知。 g1 g1 g1 g1 g 2 g n Aaij n m g2 g 2 g 2 g1 g 2 g n g n g n g n g1 g 2 g n 对于以下三个特性： （ 1） aij 0 （ 2） aij 1 a ji （ 3） aij a jk aik aij 显然满足 （ 1）与（ 2），但是，（ 3）式通常不被满足 （因为统计或构造这么完整的数据很难） ， 满足（ 1）、（ 2）的矩阵 A 为正互反矩阵 ；满足（ 1）、（ 2）并且（ 3）也成立时的矩阵 A 称为 一致性 判断矩阵 。问题是：已知判断矩阵 A ，在准则 C 下对 n 个物体排序。即按重量大小排序。 1–1 AHP( 层次分析法 )示例说明 如果， aij gi 是， gi ， g j 是重量的精确值， 此时（ 3）式必定成立， 即 A 是一致性判断矩阵。 g j 令 g g g 2 g T 1 n 则带入计算， Ag ng 。显见 n 是方阵 A 的特征根， g 是 A 的与 n 对应的特征向量；事实 上此时不难验证： n 是方阵 A=( aij )的最大特征根， 其余 n-1 个特征根全为零， 而 g 是 A 的与最大特征 根 n 对应的特征向量。（证明见附录） g 的 n 个分量是物体的相对重量， 因此，可按此对 u1 , u2 , ,un 排序。 如果对矩阵 A 有一个小的扰动，即 aij 不再是真实重量的比值，这时显然 A 不满足一致性条件， 此时 A 的最大特征根 max 不再是 n；因扰动很小，自然 max 离 n 不远，这时 max 对应的特征向量虽 然不会是 n 个物体的真实重量 g g1 , g2 , , gn T ，但是，变动也不会太大。我们设想：如果扰动 不大，则 max 离 n 就不远，此时 max 对应的特征向量 g 与 g 差不多，如果 g 不改变 g 的各分量的 大小次序，则 g 同样给出 n 个物体 u1, u2 , ,un 按重量大小的真实排序。 这样，对不满足一致性的正互反矩阵 A ( aij ) n n ，我们求其最大特征根 max ，再求与max 对 应的特征向量 g，则可按 g 对 n 个物体 u1 , u2 , ,u n 按重量大小排序。 但是，这一番理论有几个疑点： ①当 A不满足一致性时， A 还有没有最大正的特征根；②既使 A有最大特征根，那么，这个最大特 征根 max 对应的特征向量的全部分量能否还是正数（重量不可能为负数）？这两个问题可以用矩阵代数中 Perro — Frobineus 定理 回答。 Perro-Frobineus 定理： 正矩阵存在重数为 1 重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的 特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。 （证明见 itac 的 ecmp 平台文档库中 Proof_Of_PF_Theorem.pdf ） Perron 定理明白地告诉我们，对正互反矩阵 A，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实 特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是惟一的。但是，我们能 否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对 n 个物体按重量大小排序呢？或说这个“归