第2章 线性系统的数学模型教学案例.ppt

第 2 章 线性系统的数学模型;本章的主要内容;概述; 微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。;;根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：;[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。;2.2 微分方程的线性化（选）; 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。;A;对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为： ，工作点为 。则可近似为： 式中： ， 。 为与工作点有关的常数。;线性系统微分方程的编写步骤：;①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域t0，那么下式即是拉氏变换式： ,式中s为复数。记作;⑴线性性质：;⑹终值定理：;小结;2.2 传递函数; 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：;环节的微分方程为： 式中：r(t)—输入，c(t)—输出 为常系数 ;传递函数的基本概念;;传递函数的基本概念;传递函数的表现形式;传递函数的表现形式;比例环节;积分环节;积分环节实例;微分环节;式中：;（四）惯性环节;求单位阶跃输入的输出响应：;①;振荡环节;振荡环节分析;解： 当 时，有一对共轭复数极点。所以：;延迟环节;（七）其他环节：还有一些环节如 等， 它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到???这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。;小结;2.4 方框图;结构图的基本概念;2.4.2 系统方框图的构成; ② 把系统中所有元件都用上述方框形式表示，按系统输入信号经过各元件的先后次序，依次将代表各元件的方块用连接线连结起来。 显然，前后两方块连接时，前面方块输出信号必为后面方块的输入信号。 ; ③ 对于闭环系统，需引入两个新符号，分别称为相加点（比较点、综合点）和分支点（引出点、测量点）。 ;相加点 如图(a)所示，它是系统的比较元件，表示两个以上信号的代数运算。 箭头指向的信号流线表示它的输入信号，箭头离开它的信号流线表示它的输出信号； 附近的＋、－号表示信号之间的运算关系是相加还是相减。 ;在框图中，可以从一条信号流线上引出另一条或几条信号流线，而信号引出的位置称为分支点或引出点（如图(b)所示）。 需要注意的是，无论从一条信号流线或一个分支点引出多少条信号流线，它们都代表一个信号，即原始信号的大小。 系统结构图是由表示系统各个元件的传递函数方框，根据信号之间的相互关系连接构成的图形。 ;小结：任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。;结构图的等效变换;（一）环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。;闭环系统的传递函数;给定输入作用下的闭环系统的传递函数;（二）信号比较点和引出点的移动和互换： 如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。;信号比较的移动和互换;②信号引出点的移动： 引出点前移;信号比较点和引出点的移动和互换;信号比较点和引出点的移动和互换;方框图等效变换例子||例2-5;方框图等效变换例子||例2-5;结构图等效变换例子||例2-11;[解]：结构图等效变换如下：;-;小结;2.5 信号流图; 信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。;上图中， 两者都具有关系: 。支路对节点 来说是输出支路，对输出节点y来说是输入支路。 ;信号流图的术语; 回环(闭通道