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§2.3 连续型随机变量及其概率分布 一、连续型随机变量的概念 定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得 x F (x) ∫ f (t)dt − ∞ < x < +∞ −∞ 其中F ( x )是它的分布函数 则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的 概率密度函数 ( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度 分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义 f ( x) 0.08 y f (x) F ( x ) 0.06 0.04 0.02 -10 -5 5 x x p.d.f. f ( x )的性质 1、 f (x) ≥ 0 +∞ 2、 ∫ f (x)dx F (+∞) 1 −∞ 常利用这两个性质检验一个函数能否作为 连续性随机变量的密度函数，或求其中的 未知参数 3、在 f ( x ) 的连续点处， ′ f (x) F (x) f ( x ) 描述了X 在点 x 附近的概率的 “疏密度”. 注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0 这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的 取值 事实上 (X a) ⊂ (a − ∆x < X ≤ a) ∆x > 0 a 0 ≤ P (X a) ≤ P (a − ∆x < X ≤ a) ∫ f (x)dx a−∆x a 0 ≤ P (X a) ≤ lim ∫ f (x)dx 0 x a−∆x ∆ →+0 P (X a) 0 命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零 强调概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生) 对于连续型随机变量X P (a < X ≤ b) P (a ≤ X ≤ b) P (a < X < b) P (a ≤ X < b) f ( x) b ∫ f (x)d x F (b) − F (a)