初中数学竞赛：几何图形的计数问题.docx

初中数学竞赛：几何图形的计数问题 在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数， 若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真 分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递 推法等． 例 1 如图 1－65 所示，数一数图中有多少条不同的线段？ 解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将 线段分 5 类分别计数： (1)以 A 为左端点的线段有 AB，AC，AD，AE，AF 共 5 条； (2)以 B 为左端点的线段有 BC，BD，BE，BF 共 4 条； (3)以 C 为左端点的线段有 CD，CE，CF 共 3 条； (4)以 D 为左端点的线段有 DE，DF 共 2 条； (5)以 E 为左端点的线段只有 EF 一条． 所以，不同的线段一共有 5+4+3+2+1=15(条)． 一般地，如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)，那么这 n+1 个点把这条线段一共 分成的线段总数为 n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2 例 2 图 1－66 中有多少个三角形？ 解 以 OA 为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD， △OAE，△OAF 共 5 个；以 OB 为一 边的三角形还有 4 个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE， △OBF； 以 OC 为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF 共 3 个；以 OD 为一边的三角形有△ODE，△ ODF 共 2 个；以 OE 为一边的三角形有△OEF 一个．所以，共有三角形 5+4+3+2+1=15(个)． 说明 其实，不同的三角形数目等于线段 AF 中不同线段的条数．一般地，当原三角形的 一条边上有 n+1 个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为 n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2. 例 3(1)图 1－67 中一共有多少个长方形？ (2)所有这些长方形的面积和是多少？ 解(1)图中长的一边有 5 个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有 1+2+3+4=10(条)． 同样，宽的一边上不同的线段也有 10 条． 所以，共有长方形 10×10=100(个)． (2)因为长的一边上的 10 条线段长分别为 5，17，25，26，12，20，21，8，9，1， 宽的一边上的 10 条线段长分别为 2，6，13，16，4，11，14，7，10，3． 所以，所有长方形面积和为 (5×2+5×6+…+5×3) +(17×2+17×6+…+17×3) +…+(1×2+1×6+…+1×3) =(5+17+…+1)×(2+6+…+3) = 144×86=12384． 例 4 图 1－68中共有多少个三角形？ 解 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三 角形又可分为 6类：最大的三角形 1个(即△ABC)， 第二大的三角形有 1+2=3(个)， 第三大的三角形有 1+2+3=6(个)， 第四大的三角形有 1+2+3+4=10(个)， 第五大的三角形有 1+2+3+4+5=15(个)， 最小的三角形有 1+2+3+4+5+6+3=24(个)． 我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形 (左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是 21个而是 24个． 于是尖向上的三角形共 1+3+6+10+15+24=59(个)． 图中共有三角形 59×2=118(个)． 例 5 图 1－69中有多少个等腰直角三角形？ 解 图 1－69中有 5×5+4×4=41 个点．在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数．因此，共 有等腰直角三角形 4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1 =268(个)． 例 6(1)图 1－70(a)中有多少个三角形？ (2)图 1－70(b)中又有多少个三角形？ 解(1)图 1－70(a)中有 6 条直线．一般来说，每 3 条直线能围成一个三角形，但是这 3 条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了． 从 6 条直线中选 3 条，有 种选法(见说明)，每次选出的 3 条直线围成一个三角形，但是在图 1－70(a)中，每个 顶点处有 3 条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有 20-3=17 个三角形． (2)图 1－70(b)中有 7 条直线，从 7 条直线中选 3 条，有 7×6×5/6=35 种选法．每不过同一点的 3 条直线构成一个三角形． 图 1－70(b)中，有 2 个顶点处有 3 条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点