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差分约束系统 引例 国王 很久以前，在某个国家，王子出生了 但是，王子有一点弱智…… 老国王去世后，王子登基了 但是，大臣们不买王子的账，要弹劾他…… 皇后向ACM班的你求助——只有你才能救他！ 救救孩子啊~~~ 引例 国王 引例 国王 引例 国王 原问题转化为一个关于 的不等式组有没有整数解的问题 差分约束系统 差分约束系统： 若一个系统由n个变量和m个约束条件组成，且每个约束条件有如下形式，则称为一个有n个变量和m个约束条件的差分约束系统。 差分约束系统 矩阵形式 约束图 约束图 约束图 约束图 结论 若图中有负权回路，即 ，则系统无可行解 否则，有可行解，解为 引理 三角形不等式 G = (V, E)是加权有向图,任取一点s，则对于所有(u,v)∈E,有如下不等式成立： 证明：反证法 对结论的证明（1） 1。不存在负权回路 考虑约束条件 有 对结论的证明（2） 2。存在负权回路，不妨设为c 差分约束系统 如何求最短路呢？ Dijkstra Bellman-Ford … Bellman-Ford for each v ?V do d[v] ? ?; d[s] ? 0 Relaxation for i =1,...,|V|-1 do for each edge (u,v) ? E do d[v] ? min{d[v], d[u]+w(u,v)} Negative cycle checking for each v ?V do if d[v] d[u] + w(u,v) then no solution Bellman-Ford 时间复杂度： O(VE) 正确性证明： 引理： d[v] ? ?(s,v) 数学归纳法 迭代前显然正确 若迭代时有 d[v] = d[u] +w(u,v)成立，则称一次成功松弛，按照成功松弛的次数进行归纳 ?(s,v) ? ?(s,u)+w(u,v) ? d[u]+w(u,v) =d[v] Bellman-Ford 如果没有从s可以到达的负权回路，那么在 |V|-1迭代后对于所有的d[v]有: d[v]=?(s,v) s ? v[1] ? v[2] ? ... ? v 第i次迭代后d[v[i]]= ?(s,v[i])且不变（引理） 如果存在从s可达的负权回路，则一定会有某个(u,v), d[v]d[u]+ω(u,v) 国王 稍微修改一下 的定义： 国王 构约束图，利用Bellman-Ford求解 若存在可行解，则数列元素由下式给出： 区间（SWERC2002） 给你n个边界是整数的闭区间 和n个整数 所有数在[1,m]内 请你找到一个整数集合Z，使得 1。|Z|最小 2。 区间（SWERC2002） 定义: 区间（SWERC2002） 差分约束系统在实际中的应用 练习（NOI99 01串） 给定7个整数N,A0,B0,L0,A1,B1,L1，要求设计一个01串S=s1s2…si…sN，满足： si=0或si=1，1=i=N； 对于S的任何连续的长度为L0的子串sjsj+1…sj+L0-1(1=j=N-L0+1)，0的个数大于等于A0且小于等于B0; 对于S的任何连续的长度为L1的子串sjsj+1…sj+L1-1(1=j=N-L1+1)，1的个数大于等于A1且小于等于B1; 例如，N=6,A0=1,B0=2,L0=3,A1=1,B1=1,L1=2，则存在一个满足上述所有条件的01串S=010101。 附源码： #includestdio.h#includealgorithmusing namespace std;#define MAX 60000#define MAXINT 1000000struct EDGE{?int st,ed,val;}edge[MAX];int dis[MAX],n,min,max;int bellman_ford(){?int i,k;?for(i=min;i=max;i++)??dis[i]=-MAXINT;?dis[min]=0;?bool over;?for(k=0;k=max-min;k++)?{??over=true;??for(i=0;in;i++)???if(dis[edge[i].st]!=-MAXINTdis[edge[i].st]+edge[i].valdis[edge[i].ed])???{????dis[edge[i].ed]=dis[edge[i].st]+edge[i].val;????over