初中数学竞赛：三角函数.docx

初中数学竞赛：三角函数 直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得 到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这佯便定 义了直角三角形中锐角的三角函数(如图 3－14)，常用的有： 利用比例的变形并且结合勾股定理，可以从三角函数定义中推出同角三角函 数间的关系式： (1)倒数关系 tgα ·ctgα =1； (2)商的关系 (3)平方关系 sin α +cos α =1． 2 2 这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立，它们在求值、化简以及三角式 的变形中有着重要的应用． 如图 3-15 所示，在直角三角形 ABC 中，∠A 与∠B 互为余角，根据三角函数 定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系： sinB=sin(90°-A)=cosA， cosB=cos(90°-A)=sinA， tgB=tg(90°-A)=ctgA， ctgB=ctg(90°-A)=tgA． 上述四个公式可以概括为：一个锐角的余角的三角函数值，等于该锐角相应 的余函数的函数值 由图 3－16可以看到，在直角三角形 ABC中，如果斜边长度不变，当锐角 A 增大时，sinA与 tgA的值也随之增大，而 cosA与 ctgA的值随之减小．特别地， 当 A=0时，sin0=0，tg0=0，cos0=1，ctg0值不存在；当 A=90°时，sin90°=1， tg90°值不存在，cos90°=0，ctg90°=0． 由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比，而直角三角形的斜边总 是大于直角边，所以，当α 为锐角时，总有 0＜sinα ＜1，0＜cosα ＜1． 我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等 式证明等问题． 例 1 不查表，求 15°的四种三角函数值． 分析 30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些 特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15°角的三角函数 值，也可以利用直角三角形的性质将其推出． 解 如图 3－17 所示．在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长 CB 到 D， 使 BD=BA，则 所以 所以 说明 将 15°角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为 30°角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了 的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式， 我们很容易得到 75°角的四种三角函数值． 例 2 比较下列各组三角函数值的大小： (1)sin19°与 cos70°； (2)ctg65°与 cos40°； (3)cos1°，tg46°，sin88°和 ctg38°． 分析 (1)利用互余角的三角函数关系式，将 cos70°化为 sin20°，再与 sin19°比大小． (2)余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊 再将 ctg65°，cos40°分别与 ctg60°，cos45°比大小． (3)tg45°=1，显然 cos1°，sin88°均小于 1，而 tg46°，ctg38°均大于 1．再分别比较 cos1°与 sin88°，以及 tg46°与 ctg38°的大小即可． 解 (1)因为 cos70°=cos(90°-20°)=sin20°，而 sin19°＜sin20°， 所以 sin19°＜cos70°． (2)因为 所以 ctg60°＜cos45°， 所以 ctg65°＜cos40°． (3)因为 ctg38°=ctg(90°-52°)=tg52°，所以 tg52°＞tg46°＞tg45°=1． 因为 cos1°=cos(90°-89°)=sin89°， 所以 所以 sin88°＜sin89°＜1， ctg38°＞tg46°＞cos1°＞sin88°． 说明 比较三角函数值的大小，一般分为三种类型： (1)同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律， 通过比较角的大小来确定三角函数值的大小． (2)互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为 同名三角函数，比较其大小． (3)不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接 判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如 30°， 45°，60°的三角函数值． 例 3 化简求值： (1)tg1°·tg2°·tg3°·…·tg89°； 分析 (1)因为 tg89°=tg(90°-1°)=ctg1°，而 tg1°·ctg1°=1，所以， 可将连乘积中的第一个因式与倒数第一个因式相乘，结果为 1．同样方法，将第 二个因式与倒数第二个因式相乘，其积也是 1．依次类推． (3)利用同角三角函数关系将正切函数化为正弦