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-*- 3.1.1 导数与函数的单调性 导数与函数的单调性 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的. 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的. 名师点拨利用导数研究函数的单调性应注意的问题 (1)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调性. (2)注意“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点. (3)单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开. (4)在某一区间内,“f(x)0(或f(x)0)”是“函数f(x)在该区间上是增加的(或减少的)”的充分不必要条件,而不是充要条件. 【做一做1】 函数y=xln x在区间(0,5)上是( ) A.增加的 B.减少的 解析:∵y=xln x+x(ln x)=ln x+1, 答案:C 【做一做2】 函数f(x)=x3-x的递增区间是 ,递减区间是 .? 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)在区间(a,b)上,若f(x)0,则f(x)在该区间上是增加的,反之亦成立. ( ) (2)函数f(x)在区间(x1,x2)上的导数比在区间(x2,x3)上的导数大,则函数在(x1,x2)上比在(x2,x3)上增长的快. ( ) (3)函数f(x)=ln x+ 在(-∞,1)上是减少的. ( ) (4)在某个区间内有f(x)=0,则f(x)为常数函数. ( ) √ × × × 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 求函数的单调区间 【例1】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x4-2x2+3. (2)f(x)=2x-ln x. 分析:先求f(x),再解不等式f(x)0得递增区间,解不等式f(x)0得递减区间. 解:(1)∵函数f(x)的定义域为R, f(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1). 令4x(x+1)(x-1)0,解得-1x0或x1, ∴函数f(x)的递增区间是(-1,0)和(1,+∞). 令4x(x+1)(x-1)0,解得x-1或0x1, ∴函数f(x)的递减区间是(-∞,-1)和(0,1). 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f(x); (3)解不等式f(x)0(或f(x)0),得出相应的x的范围; (4)根据不等式的解集,写出相应结论. 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练1函数y=x2-4x+a的递减区间是 .? 解析:∵y=(x2-4x+a)=2x-4,由y=2x-40得x2, ∴函数y=x2-4x+a的递减区间是(-∞,2). 答案:(-∞,2) 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练2求下列函数的单调区间: 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 (2)由ax-x2≥0,得0≤x≤a,即函数的定义域为[0,a]. 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 根据单调性求参数 【例2】 若函数f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上是减少的,在区间(6,+∞)上是增加的,试求实数a的取值范围. 解:(方法一)∵f(x)=x2-ax+a-1,令f(x)=0,解得x=1或x=a-1. 当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上是增加的,不符合题意. 当a-11,即a2时,函数f(x)在(-∞,1)上是增加的,在(1,a-1)上是减少的,在(a-1,+∞)上是增加的. 依题意知,函数f(x)在区间(1,4)上是减少的,在(6,+∞)上是增加的, ∴4≤a-1≤6,即5≤a≤7. ∴a的取值范围是[5,7]. 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 (方法二)∵f(x)=x2-ax+a-1, 由题意知f(x)≤0在区间(1,4)上恒成立,f(x)≥0在(6,+∞)上恒成立. ∴5≤a≤7.故a的取值范围为[5,7]. 反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的方法 (1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在(a,b)上单调,则f(x)≥0或f(x)≤0在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立. 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练3已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则实数k的取值范围
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