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第 11 炼 函数零点的性质
一、基础知识:
1、函数零点,方程,图像交点的相互转化:有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转
化,且这三者各具特点:
(1)函数的零点:有“零点存在性定理”作为理论基础,可通过区间端点值的符号和函数
的单调性确定是否存在零点
(2)方程:方程的特点在于能够进行灵活的变形,从而可将等号两边的表达式分别构造为
两个可分析的函数,为作图做好铺垫
(3)图像的交点:通过作图可直观的观察到交点的个数,并能初步判断交点所在区间。
? ?
? ?
? ? ? ?
方程
f x 的零点?方程 f x ? 0的根 ?方?程?变? ?形
g x ? h x 的根?
三者转化:函数
? ? ? ?
函数 g x 与 h x 的交点
2、此类问题的处理步骤:
(1)作图:可将零点问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,
并作出函数图像
(2)确定变量范围:通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围
(3)观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值,
3、常见处理方法:
(1)代换法:将相等的函数值设为t ,从而用t 可表示出 x , x , ,将关于x , x , 的表达
1
2
1
2
式转化为关于t 的一元表达式,进而可求出范围或最值
? a
x ? x ? 2a
;同理,
(2)利用对称性解决对称点求和:如果x , x 关于 x
轴对称,则
1
2
1
2
? ?
若 x , x 关于 a,0 中心对称,则也有 x
? x ? 2a
。将对称的点归为一组,在求和时可与
1
2
1
2
对称轴(或对称中心)找到联系
二、典型例题:
? ?
? ? ? ?
f a ? f b
? lgx
? ?
,若 0 a b ,且
?
,则 a 2b 的取值范围是
例 1:已知函数 f x
(
)
? ?
??
2 2, ???
?3,???
? ?
3,??
?
A. 2 2,
B.
C.
D.
?
? ?
? ? ? ?
? f b
,则 0 a 1 b ,设
? ? ?
思路:先做出 f x 的图像,通过图像可知,如果 f a
? lga ? t
?
? ? ? ?
? ?
t ? 0 ,由 a,b 范围
f a ? f b ? t ,即 ?
? t
? lgb
?
? ?t ?a ? e
?lga
?
?t
? 0,lg b ? 0
?
可得:lga
所 以 a
,从 而 ?
?
,
?lgb ? t
? et
?b
?
1
? 2b ? ? 2e
e ? 0
t
, 而
, 所 以
t
e
t
1 ? ?
et
2e ?
? 3 ,? ?
t
答案:C
? ?
小炼有话说:(1)此类问题如果 f x 图像易于作出,可先作图以便于观察函数特点
(2)本题有两个关键点,一个是引入辅助变量t ,从而用t 表示出a,b,达到消元效果,但
? ?
?
? t
是要注意t 是有范围的(通过数形结合 y
断出a,b的范围,从而去掉绝对值。
需与 y f x 有两交点);一个是通过图像判
?
?
?
? ? ?
?
cos x ? , x ? 0,
? ?
?
?
? ?
?
2 ?
?
例 2:已知函数 f x ?
,若有三个不同的实数 a,b,c ,使得
x ? ?
2015
?
?
, x ? ,??
log
?
?
?
? ? ? ? ? ?
f a ? f b ? f c ,则 a
? b ? c
的取值范围是
________
? ?
? ?
思路: f x 的图像可作,所以考虑作出 f x 的图像,
? ? ? ? ? ?
? b ? c
?
,由图像可得: f a f b
?
0,1
不妨设a
?
?
a
? b
? ?
?
?
a,b? 0,? ,且关于 x ? 轴对称,所以有
? ? a ? b ? ,再观察 c ? ,且
2
2
2
? ?
f c ? log
c ? ? ? ?
?
c
? ?
? 1? ? c ? 2015 , 从 而
? f a ? 0,1 , 所 以 0 ? log
?
2015
2015
? ?
?
?
?
?
?
a ? b ? c ? ? c 2? , 2 0 1 6
?
?
?
?
答案: 2 ,2016
?
?
对称是关键,从而可由对称求得a ? b ?
? ,使得所
小炼有话说:本题抓住a,b关于 x
求式子只需考虑 的范围即可
2
c
? ?
?log (x ?1),x? 0,1
?
? ?
? ?
?
1
? 0
例 3:定义在R 上的奇函数 f x ,当x
时, f x ?
,则关于x
2
? ?
? ? ? ? ??
1 x 3 , x 1,
?
? ? ? ?
? f x ?a(0 ? a ?1)
的函数 F x
的所有零点
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