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证明四点共圆常用的策略例析 摘要:“四点共圆”是初等几何中一个很重要的内容,在竞赛数学中也经常会涉及到.本文将详谈求证四点共圆的几种解题策略,同时结合实例加以说明. 关键词:四点共圆 解题策略 1 四点共圆的概念 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”.这类问题一般有两种形式: (1证明某四点共圆或以四点共圆为基础证明若干点共圆; (2通过证明某四点共圆得到一些重要的结果,进而解决问题. 2 证明四点共圆常用的几种解题策略: 2.1 利用圆的定义: 即要证明A 、B 、C 、D 四点共圆,只要能找到一点O,使得A 、B 、C 、D 四点距离定点O 等长,即OA=OB=OC=OD ,则A 、B 、C 、D 四点共圆.例如,“证明菱形四边的中点共圆”就可以利用这个方法.事实上,菱形四边的中点与菱形对角线的交点等距离,因而得证. 例1.如图1,⊙1o ,⊙2o ,⊙3o … 都经过点A 和B.点P 是线段AB 延长线上任意一点,且PC ,PD ,PE …分别与⊙1o ,⊙2o ,⊙3o …相切于点C,D,E,…。求证:C,D,E …在同一个圆上。 剖析:此题较简单.只需要证明PC=PD=PE=…, 从而由圆 的定义即可知道C,D,E,…在以P 为圆心, PC 为半径的圆上. 而证明PC=PD=PE=…,由于PC 2 =PB ·PA,PD 2 =PB ·PA, PC 2 = PB · PE 2=PB ·PA …故PC=PD=PE=……成立,从而得证. 2.2 利用角的关系 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角 ,则 这四点共圆.如图2:要证明A 、B 、C 、D 四点共圆,只需要 找到∠DCE=∠DAB 或者∠BCD+∠DAB=180°即可.特别的,当∠DAB= ∠BCD=90°时,A 、B 、C 、D 四点共圆,而且BD 为所共圆的直径. 例2.如图3,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB CD ,K ,M 分别在AD ,BC 上,∠DAM =∠CBK. C 求证:(1C ,D ,K ,M 四点共圆 (2∠DMA =∠CKB ∠DMA =∠CKB.(第二届袓冲之杯初中竞赛 剖析:连接KM ,由∠DAM =∠CBK 易知A ,B ,M ,K 四点共圆,于是有∠DAB =∠CMK. ∠AMB =∠BKA ∵∠DAB+∠ADC =180°∴∠CMK+∠KDC =180°. 故C ,D ,K ,M 四点共圆?∠DKC =∠CMD. 但已证∠AMB =∠BKA ,于是有∠DKB=∠CMA, ∴∠DKB-∠DKC=∠CMA-∠CMD ∴∠DMA =∠CKB. 证明略. 例3.如图4,⊙O 过△ABC 顶点A ,C ,且与AB ,BC 交于K ,N (K 与N 不同.△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和M. 求证:(1C ,O ,K ,M 四点共圆. (2∠BMO=90°. (改自第26届IMO 第五题 剖析:要证C ,O ,K ,M 四点共圆,只需证∠COK+∠CMK=180°.连接OC ,OK ,MC ,MK ,延长BM 到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK ,∴∠COK+∠CMK=180°?∴C ,O ,K ,M 四点共圆.在C ,O ,K ,M 所共的圆中,由OC=OK 得弧OC=弧OK ,于是有∠OMC=∠OMK.∵∠GMC=∠BMK ,且∠OMC+∠OMK+∠GMC+∠BMK=180° ∴∠BMK+∠OMK=90°,即∠BMO=90°. 2.3 利用同底同侧等顶角的三角形: 如图5,由∠ADB=∠ACB 可得A 、B 、C 、D 四点共圆. 特别地当∠ADB=∠ACB=90°,可知AB 为A 、B 、C 、D 四点所在圆的的直径. 例4.如图6,点F E ,分别在线段BC AC ,上运动(不与端点重合,而且BF CE =,O 是 ABC ?的外心,证明F O E C ,,,四点共圆. (第四届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题 剖析:易知BCO ACO ∠=∠,这由AOC ?≌BOC ?可得.要证 F O E C ,,,四点共圆,只需要证OCF OEF ∠=∠.由BF CE =和 OBF BCO ACO ∠=∠=∠以及OB OC =可以证得ECO ?≌FBO ?, 于是有FOB EOC ∠=∠,那么COB EOF ∠=∠,又由于OEF ?和OCB ?都是等腰三角形, 图3 M K B A C D 所以OCF OEF ∠=∠,于是结论得证. 2.4 利用线段的等积关系: 如果两线段AB ,CD 相交于E 点,且AE ·EB=CE ·ED ,则A ,B ,C ,D 四点共圆(如图7;