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第十一章 全等三角形及其应用 【知识精读】能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全1. 全等三角形的定义：互相重合等三角形中，互相重合的边叫对应边，互相重合的顶点叫做对应顶点。 的角叫对应角。A′B′若△ABCC′是全等的三角形，记作 和△“△ABC2. 全等三角形的表示方法：≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 ?翻折 如图（1），?BOC≌?EOD，?BOC可以看成是由?EOD沿直线AO翻折180?得到的； ?旋转 如图（2），?COD≌?BOA，?COD可以看成是由?BOA绕着点O旋转180? 得到的； 八年级数学培优班暑期讲义 ?平移 如图（3），?DEF≌?ACB，?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法： （1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2） 推论：角角边定理 6. 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 （1） 证明线段（或角）相等 【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC 分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC. 证明：在ΔACD和ΔABE中， 56/ 2 八年级数学培优班暑期讲义 AE=AD A A=∠∠AB=AC. (SAS) ≌ΔABE ∴ ΔACD C∠（全等三角形对应角相等）∴ ∠B=AD=AE,AB=AC. ∵ 又 AE AD=AC－ AB－ ∴BD=CE 即 ECF中在ΔDBF和Δ∠B=∠C ∠BFD=∠CFE（对顶角相等） BD=CE ∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS） ∴ BF=FC （全等三角形对应边相等） （2）证明线段平行 【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD DCFEBA 分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD. 证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知） ∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义） 在ΔABF与ΔCDE中， AF=CE （已知） ∠DEC＝∠BFA （已证） DE=BF （已知） ∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS） ∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等) ∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行） （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 【例3】如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE 56/ 3 八年级数学培优班暑期讲义 分析：这里注意利用≌ΔCFB.中点F，连接BF，再证ΔCEB(ⅰ)折半法：取CD ACD中位线这个条件。BF是Δ ，连接F证明：取CD中点BF 1 AC （三角形中位线定理） AC,且BF∥∴ BF=2) (两直线平行内错角相等ACB＝∠2 ∴ ∠AB=AC 又∵ （等边对等角）ACB＝∠3 ∴