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实用标准文案
三次函数的性质
f x ax3 bx2 cx d a
三次函数 ( )= + + + （ ≠0 ）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也
是其他复杂函数的重要组成部分， 因此有必要对其性质有所了解， 才可以做到知
己知彼，百战不殆．
性质一 单调性
2
以 a>0 为例，如图 1，记Δ =b - 3ac 为三次函数图象的判别式，则
图 1 用判别式判断函数图象
f x
当Δ? 0 时， ( ) 为 R上的单调递增函数；
f x
当Δ >0 时， ( ) 会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．
性质一的证明 f ( x ) 的导函数为
f ′ x ax3 bx c
( )=3 +2 + ,
其判别式为 4( b2- 3ac) ，进而易得结论．
3
例 1 设直线 l 与曲线 y=x +x+1 有三个不同的交点 A, B, C，且
| AB|=| BC|=5 √，求直线 l 的方程．
AB BC B B
解 由| |=| | 可知 为三次函数的对称中心，由性质一可得 (0,1) ，进
l y x
而不难求得直线 的方程 =2 +1．
性质二 对称性
f x P b a f b a
如图 2， ( ) 的图象关于点 ( - 3 , ( - 3 )) 对称（特别地，极值点以及极值
点对应的图象上的点也关于 P 对称）．
图 2 图象的对称性
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m n
反之，若三次函数的对称中心为 ( , ) ，则其解析式可以设为
f x α x m 3 β x m n
( )= ? ( - ) + ? ( - )+ ,
其中 α≠0．
性质二的证明 由于
f x a x b a 3 c b2 a x b a bc a b3 a2 d
( )= ( + 3 ) +( - 3 )( + 3 ) - 3 +2 27 + ,
即
f x x b a 3 c b2 a x b a f b a
( )=( + 3 ) +( - 3 )( + 3 )+ ( - 3 ),
于是性质二得证．
例 2 设函数 f ( x )= x( x- 1)( x- a) ，a>1．
（1）求导数 f ′( x) ，并证明 f ( x) 有两个不同的极值点 x1，x2 ；
1
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