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函数的对称性与周期性 2013年10月 、知识要点函数图象的对称性 对称轴(中心)特征表达式 实例 = f(a+r)=f(a-r f(x)=∫(2a-x) y=(x-a)2+1 (a,b) (a+x)+∫(a-x)=2b ∫(x)+f(2a-x)=2b y=(x-a)3+b 函数的周期性:∫(x+T)=f(x)(T≠0) 重要结论 1.若f(x)有两条(个对称轴(中心)x=a(a,0),x=b(b,0) (a≠b,则f(x)是以2a-b为周期的周期函数 2.若f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a≠b), f(x)是以4a-b|为周期的周期函数 3若∫(x)、g(x)都是周期函数,且a≠0,b≠0, 则qf(x)+bg(x)是周期函数 二、基本题型与解答方法—快速、准确、熟练 1.根据解析式判断函数图象的对称性 1.函数(x)=2x+3的图像关于点对称 2.函数f(x)的定义域为R,且f(1-2x)=∫(2x) 则y=∫(2x)的图象关于 对称; y=f(x)的图象关于 对称 3.f(x)是偶函数,∫(x-2)是奇函数,且f(0)=2008, 求f(2010)的值 解题指要:常见函数的对称性: ax+b 1.f(x)= (c≠0)图像关于点( 对称 cx+a 2.f(x)=x-a的图象关于x=a对称; 3.∫(x)=ax2+bx+c(a≠0的图象关于x=-b对称; 4奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称 2平移变换后,函数图象的对称性 1.已知函数y=∫(x)是偶函数,f(x-2)在0,21上 单调递减,则 A.f(0)<∫(-1)<∫(2)B.∫(-1)<∫(0)<∫(2) C.f(-1)<f(2)<f(0)D·f(2)<∫(-1)<∫(0) 2.已知y=f(x-2)是偶函数,则y=f(x)的图象 关于 对称 3.已知y=f(x)是奇函数,则y=∫(x+1)-2的图 象关于 对称 解题指要: 函数图象经过平移后,对应的函数图象的对称 中心(或对称轴)也进行了相应的平移; 3根据函数图象的对称性求函数的解析式 1.已知f(x)的图象关于直线x=2对称,且x∈(0,1 1 时,∫(x)=x2+,求x∈[3,4)时,∫(x)的解析式 2.已知f(x)图象关于点(-2,0)对称,x∈(0,1时, ∫(x)=x2+1,求x∈L5,-4时,∫(x)的解析式 3已知(x的图象关于点(L,-2)对称,且x∈(0,1 时,∫(x)=x2+,求x∈,2时,f(x)的解析式 解题指要: 此类问题的解法通常是在给定的区间内任取一个自变量 找到它关于点(或直线)的横坐标对称的相应的自变量, 根据函数奇偶性的定义寻找这两个自变量间的函数值的 关系,进而求得结果.其本质是代入法求轨迹方程