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2019/6/6 31 重点内容 1 、搜索区间内函数应具有什么性质? 2 、黄金分割法的基本思想是什么? 3 、黄金分割法的区间缩短实质上采用 的是什么原理? 4 、 黄金分割法首轮搜索区间插入点具 有什么特点? 2019/6/6 32 知识点回顾 1. 用进退法确定初始区间时,搜索区间内函数具有 什么性质? 2. 用进退法确定初始区间,直至函数满足什么特性 时停止搜索? 3. 黄金分割法的基本思想是什么? 4. 黄金分割法中的 0.618 的含义是什么? 本次课的内容 ? 一维牛 顿 法(切线法) ? 二次插值法(抛物线法) 1 、 基本思想 2 、迭代公式和迭代步骤 3 、程序框图 4 、 特点 2019/6/6 34 4.3 一 维 牛 顿 法 ( 1 )牛顿法的基本思想 用 二次函数逐点近似原目标函数 ,以 二次函数的极小点来近似原目标函数的极 小点, 用切线代替弧线 逐渐逼近函数的根 值。 2019/6/6 35 ( 1 )牛顿法的基本思想 当目标函数 有一阶连续导数,且二阶导数 大于零时,函数的极小值点 应满足极值存在 的必要条件 ,所以求函数的极小值点也 就是求解 方程的根。 ? ? x f * x ? ? 0 x * ' ? f ? ? 0 x * ' ? f ? ? 0 x ? ? ? ? )) ( , ( 0 ' 0 x f x ? ? ... 1 x ? ? 2 x * x x 0 ? ? x ' f a b 在曲线上作一 系列 切线, 使 之与 轴的 交点逐渐逼近 方程 的根 。 x ? ? 0 ' ? x f * x 4.3 一 维 牛 顿 法 2019/6/6 36 ( 2 )牛顿法的迭代公式 ? ? 0 x ? ? ? ? )) ( , ( 0 ' 0 x f x ? ? ... 1 x ? ? 2 x * x x 0 ? ? x ' f a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( 0 0 0 ' x x x f x f y ? ? ? 与 轴的交点 为 x ? ? 1 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ' 0 1 x f x f x x ? ? 推广到 k 步得迭代公式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k x f x f x x ' 1 ? ? ? 过 点的 切线方程 为 ? ? ? ? )) ( , ( 0 ' 0 x f x 4.3 一 维 牛 顿 法 2019/6/6 37 ( 2 )牛顿法的迭代公式 迭代公式也可 由 Taylor 公式展开得到: 在 点附近用二次函数来逼近原目标函数,故在 点用 Taylor 公式展开,保留到二次项。 ? ? k x ? ? k x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x f x x x f x f x f k k k k k ? ? ? ? ? ? ? 2 ' 2 1 ? ? 0 ' ? x ? ? ? 1 ? ? k x x 令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k x f x f x x ' 1 ? ? ? 4.3 一 维 牛 顿 法 2019/6/6 38 4.3 一 维 牛 顿 法 ( 3 )牛顿法的迭代步骤 给定搜索区间 ,初始点 ,迭代精度ε,令 ] , [ b a ? ? 0 x 0 ? k 1 )计算 ? ? ? ? ? ? ? ? k k x f x f ' , 2 )求 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k x f x f x x ' 1 ? ? ? 3 )终止条件判断 若满足条件,则得近似解 停止计算,否则转步骤 4 ) 4 )令 转步骤 1 )。 1 ? ? k k ? ? ? ? ? ? k x f ' ? ? 1 * ? ? k x x ? ? * * x f f ? 自己列出程序框图 2019/6/6 39 (
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