第二章 年金[文字可编辑].ppt

31 2. 期初付年金 ? 年金现值为 ? 相应的，年金积累值为 ? 也可以直接从年金现值推导得出年金积累值 ( 1) 2 .. .. 1 1 1 1 1 1 1 n k n n k k k k k k k n n n k k k v v v v v v v a v i a i v a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L .. .. (1 ) (1 (1 ) ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 (1 ) (1 ) 1 1 1 k n n n k k k n n n n k k k k i i i i i i s i i i s v i v a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L (1 ) n n n k k a s i a a ? ? 32 3 其他情形 ? 在 1 中描述的给付方式下，若整个付款期 是无限的，则年金为该种假设下的永续年 金，其现值为 ? 另一种情况是连续计息的情况，此时可利 用关系式 1+i=e δ ，将之转换为标准年金计 算。 ? 对于 k 非整数的情形；理论上可以类似讨 论，但是无实际意义。 33 ? 例 2.2.5 某人 1 月 1 日在银行存入 10000 元， 每季末从银行领取 500 元，直到剩余额经一 个季度积累的本利和不够一次领取额为止， 剩余额在最后一次足额领取时一并支出。每 月利率为 i=0.005 ，计算足额领取次数和不 足额部分。 ? 例 2.2.6 每月实际利率为 1% ，甲于每季度初 在银行存款 1000 元，共存 3 年，以后两年， 每季度初存入 2000 元，计算甲在第 5 年末存 款积累值。 34 付款频率低于计息频率 ? 设 m 为每个计息期内的付款次数， n 为计 息期数， i 为每个计息期的利率， m 、 n 为 正整数，总付款次数为 mn 次。 35 1. 期末付年金 ? 假设每个付款期期末付款额为 1/m ，每个 计息期付款为 m*(1/m)=1 ，这种情形下的 年金现值记为 。 ( ) m n a 1/ 1/ ( ) 1/ 2/ ( 1)/ 1/ 1/ ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 1 (1 ) 1 m n m m m m mn m n m n n n m m v v a v v v v m m v v v m i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L 36 ? n 时刻的年金积累值为 ? 显然 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 n m m n n m n n n m v s a i i i i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n m m m m n n v v i i a a i i i i ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) m n m n m m n n n n i i s i a a i s i i ? ? ? ? ? ? ? 37 ? 例 2.2.7 某人在银行采取零存整取的方式存 款，拟在 5 年后一次取出。每月末存入 100 元，年利率为 6% ，计算该储户到时可支取 的存款本利和。 38 2. 期初付年金 ? 假设每个付款期期初付款额为 1/m ，则年金现 值为 ? n 时刻的年金积累值为 ( ) .. 1/ 2/ ( 1) / 1/ 1/ 1 (1 ) 1 1 1 1 m n m m mn m n n m m a v v v m v v m v d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ( ) ( ) .. .. ( ) ( ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 m m n n n n n m n m v s a i i d i d ? ? ? ? ? ? ? ? ? 39 ? 显然 ( ) .. .. ( ) ( ) ( ) 1 1 m n n n n m m m v v d d a a d d d d ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) .. .. .. .. ( ) ( ) (1 ) (1 ) m m n n n n n n m m d d s i a i a s d d ? ? ? ? ? ? 40 ? 由于 与 只相差一个付款期，这一个 付款期的积累因子为 (1+i) 1/m ，即 ? 根据不同转换频率的利率之间的相互关系， 因此有 ? 同理 ? 另外，可以证明， ( ) m n a ( ) m n a ( ) .. 1/ ( ) (1 ) m