人算不如天算 之 那一阵风告诉我们的.pdf

人算不如天算 之 那一阵风告诉我们的 方弦 发表于 2010-03-03 【前言】自然是解题的好手。 你的手每次划过空中，自然就给出了一组微分方程的数值解，而同样的一组微分方程解的性 质，却已困扰数学界数百年。 每一道光传入你的眼睛，它走的路径便需要数学家用一种繁复的数学技巧——变分法—— 才能计算出来，而光，天生就知道怎么走。 蚂蚁并没有人那样的智慧，它们只有简单的脑，能看到的也就是它面前的一点点距离，但一 群蚂蚁可以找到从它们的巢穴到食物的最短距离。 螽斯尽然愚笨，但它在漫长的演化路上学会了模仿蟋蟀求偶的鸣叫来诱捕这些可怜的受害者。 而蟋蟀同时也演化出了一些判别的方法，与螽斯展开了一场演化军备竞赛。 分子没有意识，但在退火之下，它们能形成近乎完美的晶体。没有人命令它们，它们自然而 然就知道自己应该在什么位置。 这一切一切，一切你说能看到或者不能看到的，都是自然在计算。而人，只能亦步亦趋跟在 自然之后，学习自然是如何计算的。 自然是可敬畏的，不为它的力量，而为它的精巧，在极简单极简单的规则之下，演出着极宏 大极宏大的歌剧。 我将尽我所能，描述这场歌剧中的计算，以及人是如何学习这样的计算的。 最后，我以一段歌词结尾： 围着雾的冰水任瓶边结露 凝聚渐厚过后交汇成川渗于台布 神奇而极普通的景象 谁人曾又会静来一睹？ ——谢安琪《活着》 我 是 目 录 的 分 隔 线 这个系列的文章，讲的东西可能比较杂，但是围绕的是同一个主题：自然的计算，以及人们 受自然启发而提出的各种算法。虽然如此，每篇文章是各自独立的。以下是一个目录，每一 篇新文章发表在群博上后，我会及时在这里更新链接。另外，读者您也可以通过标签“人算 不如天算”来访问这个系列的文章。 遗传算法：内存中的进化 这就是自然在计算，它以不计其数的分子和原子，用离散的方法，编织了一个连续的世界； 我们活在其中，却不知觉。 田野中有一朵蒲公英，你向它吹了一口气，它的种子便随着你的气流在空中飞舞。于你 而言，这只是一阵风，但对于自然而言，它又给出了一个偏微分方程的数值解。 流体引发的问题 像水和空气这样会流动的东西，我们将它们称为流体。对流体的研究，肇源于古希腊阿基米 德的浮力原理，经过十八世纪微积分的推动，最终在十九世纪达到顶峰。十九世纪的两位物 理学家——纳维和斯托克斯——将流体流动的奥秘都汇聚到了一个偏微分方程中（注 1）。 这个方程也因他们而得名“纳维-斯托克斯方程”。 但随着实验水平的提高，人们发现，对于一些在极端条件之下的流体，纳维-斯托克斯方程 失去了预言的力量。 究其原因，物理学家在研究流体的时候，往往假定流体是连续的，这与我们在生活中的体验 也是一致的。但事实上，空气和水都是由大量分子组成的，只不过因为分子体积极小而数量 惊人，所以在我们看来，空气就变成连续的了，于是风——空气的流动——对我们来说也 就是连续的。这就好比大型广告牌一样：在远处看，广告上是一位天真无邪的小孩子，但靠 近看的话，不过是数量巨大的油墨点组成的点阵而已。 但在极端条件之下，分子的这种离散的特性变得突出，变得不再那么连续了。既然“流体是 连续的”这个假设失效了，那么在这个假设的基础上推导出来的流体力学方程，它在极端条 件下失去准确性也就并非不可理解了。 对于物理学家来说，这就意味着在极端条件下，他们需要从另外的假设出发来推导流体所服 从的方程。 离散对连续的模拟 但对于研究数学分析的数学家来说，连续的流体要比离散的原子分子更自然，方程比现实更 自然。与其说方程描述了现实，不如说现实是方程的近似。在每一阵风中，自然给我们展示 的，正是如何通过离散去得到连续。 自然告诉我们的，正是这样一个道理：通过离散的手段，也能模拟出连续的现象。 不知道是巧合还是必然，为了模拟自然中流体的流动，研究人员发展了一种数值计算方法， 叫有限差分方法，能给出一些偏微分方程的数值解。 有限差分方法的精髓，正是自然告诉我们的道理：通过离散的手段，模拟连续的现象。它将 一个原本连续的区域离散化，划分成一个一个的点，就像空气中的分子。然后它将连续的问 题转化为离散的问题，也就是说将要求解的问题翻译成线性方程组。最后通过求解这个方程 组，我们就得到了原来问题的一个数值解。由于计算机善于处理离散的问题，而离散的问题 也会比连续的容易处理，这就使有限差分方法成为了得到偏微分方程的近似数值解的好工具。 下面，我们来看一个用有限差分方法解决问题的例子。 肥皂膜的数学模型 【公式出没，注意！不适者欢迎绕行。相信