总结一阶微分方程的类型及其解法[文字可编辑].ppt

总结一阶微分方程 的类型及其解法 （一）总结一阶微分方程的类型及其 解法 ? 1 可分离变量的微分方程 ? 设有一阶微分方程 ，如果其右端函数能 分解成 即有 ， 则称方程为可分离变量的微分方程，其中 f(x),g(y) 都 是连续函数。 ) , ( y x F dx dy ? ) ( ) ( ) , ( y g x f y x F ? ) ( ) ( y g x f dx dy ? ? 例：求微分方程 的通解 ? 解 题设方程是可分离变量的，分离变量得 ? 两端积分 得 ? 从而 记 ? 则得到题设方程的通解 xy dx dy 2 ? xdx y 2 dy ? ? ? ? xdx y y 2 d 1 2 ln c x y ? ? 2 1 1 2 x c c x e e e y ? ? ? ? ? ? 1 c c e ? ? 2 x ce y ? 2. 齐次方程 ? 形如 的一阶微分方程称为齐次微分 方程，简称齐次方程。齐次方程通过变量替换，可 化为可分离变量的方程来求解。 ) ( x y f dx dy ? ? 例 . 求解微分方程 ? 易见，题设方程是齐次方程，令 ? 则 ， ? ? 于是，原方程变为 ? ? 即 2 2 2 2 ) ( dx x x y x y x xy y dy ? ? ? ? u y ? x ux ? y dx du x u dy dx ? ? 1 2 ? ? ? u u dx dy x u 1 x ? ? u u dx du ? 分离变量，得 ? ? 两端积分，得 ，或 ? 将 回代， ? 则得到题设方程的通解为 x dx du u ? ? ） （ 1 1 x c u u ln ln ? ? ? c u xu n ? ? l x y u ? c x y y ? ? ln 一阶线性微分方程 ? 形如 的方程称为一阶线性微分方程， 其中 是某一区间 I 上的连续函数，当 ? 时，方程变为 ，这个方程称为 一阶齐次线性微分方程。相应地，方程 ? 称为一阶非齐次线性微分方程。 ) ( ) ( x Q y x p dx dy ? ? ) ( ), ( x Q x p 0 ) ( ? x Q 0 ) ( ? ? y x p dx dy ) ( ) ( x Q y x p dx dy ? ? ? 例 . 求方程 的通解 ? 解：题设方程是一阶非齐次线性方程，这里 ? ? 于是，所求通解为 x x y x sin 1 ' y ? ? x x x Q x x sin ) ( 1 ) ( p ? ? ， ) cos ( 1 ) sin ( 1 ) sin ( ) sin ( y ln ln 1 1 c x x c xdx x c dx e x x e c dx e x x e x x dx x dx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4. 伯努利方程 ? 形如 的方程称为伯努利方程， 其中 n 为常数，且 n y x Q y x p dx dy ) ( ) ( ? ? .1 0 ? n ? 例 . 求方程