太原理工大学数理统计课件第12节 充分统计量与完备统计量讲解.ppt

一、充分统计量 二 、 因子分解定理 三、完备统计量 第 1.2 节 充分统计量与完备统计量 四、指数型分布族 1. 问题的引出 一、充分统计量 由于样本来自总体，抽取出来的样本包含有总体 的信息。数理统计主要是利用样本信息推断总体的信 息，如何将样本中包含总体的信息提取出来？以及是 否将样本中包含总体的信息完全提取出来？这些都是 数理统计需要解决的问题。 2 2 ( , ), , , n N X S ? ? 例如，设总体服从 在上一节中，用 2 2 2 , n X S ? ? ? ? 去估计总体的 和 ， 是否将 和 的信息完全提 炼出来呢？ 2. 定义 定义 1.4 1922 年英国统计学家 Fisher 提出了描述总体信息 是否被完全提炼的概念 — 充分统计量 . 1 2 1 2 , , , ( , ) ( , , , ) ( n n X X X X F x T T X X X ? 设 是来自总体 具有分布函数 的一个样本， 为一个 一维或多 ? 1 2 ) , , , T n T t X X X ? 维 统计量，当给定 时，若样本（ ） 的 T 条件 ( 离散总体为条件概率，连续总体为条件密度 ) 与参 数 无关，则称 为 的充分统计量 . ? ? 3. 充分统计量的意义 如果知道了统计量 T 的观察值以后，样本的条 件分布与 ? 无关，这就表明样本的剩余部分不再包 含关于 ? 的信息，换言之，在 T 中包含了关于 ? 的全 部信息，因此要做关于 ? 的统计推断，只需用统计 量 T 就足够啦 . 例 1(p6 例 1.3 ) 1 ( , ), X B p 设总体 服从两点分布 即 1 1 1 0 { } ( ) , , , x x P X x p p x ? ? ? ? ? 1 2 ( , , , ) T n X X X X 是来自总体 的一个样本，试证 1 1 . n i i X X p n ? ? ? 是参数 的充分统计量 证 利用定义证明其是充分统计量 1 1 2 2 { , , , | } n n k P X x X x X x X n ? ? ? ? 1 1 2 2 { , , , , } { } n n k P X x X x X x X n k P X n ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 { , , , , } { } n n P X x X x X x nX k P nX k ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 1 1 { , , , , } { } n n n i i n i i P X x X x X x X k P X k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 1 { , , , } { } n n n i i P X x X x X x P X k ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 1 { } { } { } { } n n n i i P X x P X x P X x P X k ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 0 ( ) , , ( ) , n n i i i i x n x n i k k n k i n p p x k C p p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其他， 1 1 0 , , , n i k i n x k C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其他， . p X p 显然该条件分布与 无关，因而 是 的充分统计量 说明 利用定义判别充分统计量比较麻烦，因而需 要需求更好的判别准则。 二、因子分解定理 1. 充分统计量的判别准则 定理 1.3( 因子分解定理 )(Fisher-Nerman 准则 ) (1) 连续型情况 1 2 ( , ),( , , , ) T n X f x X X X ? 设总体 具有分布密度 1 2 ( , , , ) n T X X X T 是一个样本， 是一个统计量，则 ? 是 的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布 密度可以分解为 1 2 1 2 1 ( ) ( , ) ( , , , ) ( ( , , , ), ) n i n n i L f x h x x x g T x x x ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 , ,