微分的简单应用.ppt

1 小结 3.5 微分的简单应用 第 3 章 导数与微分 近似计算 估计误差 2 例 解 , π 2 r A ? 设 , cm 10 ? r 05 . 0 10 π 2 ? ? ? ). cm ( π 2 ? . ) ( 0 x x f ? ? ? ? y y d ? ? , 0 ) ( 0 ? ? x f . y ? 用来近似计算 . cm 05 . 0 ? ? r r r ? ? ? π 2 A ? r A r ? ? ? ? A d ? 一、近似计算 1. 计算函数增量的近似值 半径 10cm 的金属圆片加热后 , 半径伸长了 0.05cm, 问面积增大了多少 ? , 很小时 且 x ? 3.5 微分的简单应用 所以 3 例 解 , π 2 g l T ? ). s ( 0002 . 0 ? ? , cm 01 . 0 ? ? ? l T ? l T l ? ? ? ? 钟摆的周期原来是 1s. 在冬季 , 摆长缩短了 3.5 微分的简单应用 0.01cm, 问这钟每天大约快多少 ? 设单摆的周期为 T , 摆长为 l , 由物理知识 , 所以 T d ? , s 1 ? T 由 (g 为重力加速度 ) l gl ? ? ? π ) 01 . 0 ( 2 π 2 ? ? ? g cm g l 2 π 4 ? 得 表明 : 由于摆长缩短了 0.01cm, 摆的周期也缩短了 大约 0.0002s, 因此每天大约快 : ). s ( 28 . 17 ? ? ? ? 0002 . 0 ) 60 60 24 ( T 与 l 的关系式 : 4 ) ( ) ( 0 0 x f x x f y ? ? ? ? ? . ) ( 0 x x f ? ? ? ? . ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x x f x f x x f ? ? ? ? ? ? ? ) ( 很小时 x ? 2. 计算函数的近似值 ) ( 0 x x ? x 曲线 处 在点 )) ( , ( ) ( 0 0 x f x x f y ? 的切线的表达式 . 通常称为函数 y = f ( x ) 的一次近似或线性近似 . 附近的近似值 在点 求 0 ) ( ) 1 ( x x x f ? 3.5 微分的简单应用 5 0 3 60 cos 0 ? 故 例 . 0 3 60 cos 0 的近似值 计算 ? 解 , cos ) ( x x f ? 设 ) ( , sin ) ( 为弧度 x x x f ? ? ? , 3 π 0 ? x 令 . , ) ( ) ( 0 0 要很小 要容易算 与 x x f x f ? ? x x f cos ) ( ? 就是函数 360 π ? ? x . 360 π 3 π 处的值 在 ? ? x ) 360 π 3 π cos( ? ? x x f x f x x f ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( 0 0 0 3.5 微分的简单应用 所以 6 360 π 3 π sin 3 π cos ? ? ? 360 π 2 3 2 1 ? ? ? . 4924 . 0 ? ) 360 π 3 π cos( 0 3 60 cos 0 ? ? ? ? x x f x f x x f ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( 0 0 0 360 π 3 π 0 ) (cos ? ? ? ? ? ? x x x x ? ? 3 π 0 cos x x 3.5 微分的简单应用 所以 7 常用的几个一次近似式 ) | (| 很小时 x 附近的近似值 在点 求 0 ) ( ) 2 ( ? x x f . ) 0 ( ) 0 ( ) ( x f f x f ? ? ? ? , ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x x f x f x x f ? ? ? ? ? ? ? , 0 0 ? x 令 . x x ? ? ); ( sin ) 2 ( 为弧度 x x x ? ); ( tan ) 3 ( 为弧度 x x x ? . ) 1 ln( ) 5 ( x x ? ? 2. 计算函数的近似值 ; 1 1 1 ) 1 ( x n x n ? ? ? ; 1 e ) 4 ( x x ? ? 3.5 微分的简单应用 所以 8 021 . 0 1 021 . 1 ? ? 证 , ) 1 ( 1 ) ( 1 1 ? ? ? ? n x n x f , 1 ) 0 ( ? f x f f x f ) 0 ( )