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用均值不等式求最值的方法和技巧
桃源县第九中学 朱梅芳
均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识
点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题 的方法和技巧 。
一、几个重要的均值不等式
2 2
2 2 a b
① a b 2ab ab (a 、b R)，当且仅当 a = b 时，=“”号成立；
2
2
a b
② a b 2 ab ab (a、b R )，当且仅当 a = b 时，=“”号成立；
2
3 3 3
3 3 3 a b c
a b c 3abc abc (a、b、c R )，
③ 当且仅当 a = b = c 时, =“”号
3
成立；
3
3 a b c
④ a b c 3 abc abc (a 、b 、c R ) ,当且仅当 a = b = c 时, =“”
3
号成立 .
注： ① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
2 a b a2 b2
② 熟悉一个重要的不等式链： ab 。
1 1 2 2
a b
二、用均值不等式求最值的常见 的方法和技巧
1、求几个正数和的最小值。
1
例 1 、求函数 y x 2 (x 1) 的最小值。
2(x 1)
解析：
1 1 x 1 x 1 1
y x 2 (x 1) (x 1) 2 1(x 1) 2 1(x 1)
2(x 1) 2(x 1) 2 2 2(x 1)
x 1 x 1 1 3 5 x 1 1
33 2 1 1 ，当且仅当 2 (x 1) 即 x 2 时，=“”号成
2 2 2(x 1) 2 2 2 2(x 1)
5
立，故此函数最小值是 。
2
评析： 利用均值不等式求几个正数
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