数学公理化的方法.ppt

第7章数学公理化方法 §1数学公理化方法的意义 数学公理化方法的含义 所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原 始 概念和不加证明的原始命是 按照理辑规则推到出其他命题,建立起一个演绎统 的方法 其中,我们把由公理化方法最后得到的知识结构 称之为公理体系,,而由不加证明的原始命题(公理或 公设)形成的结构,称之为公理系统 如:<几何原本>的公理系统 、意义: 1、总结性2、示范性(生顿<自然哲学的数学原理》) 3、简洁性4、系统性5、可比较性 §2数学公理化方法的产生与发展 公理化方法的萌芽—亚里士多德的三段论体系 口大约在公元前3世纪,希腊哲学家和逻辑学家亚里士多 德(公元前384322年)总结了古代积累起来的逻辑知 识,在其专事探讨演绎证明理论的巨著《分析篇》中 以演绎证明的科学(主要是数学)为实例,把完全三 段论作为公理,在历史上提出了第一个公理体系 三段论体系,这就为公理方法的产生奠定了基础 实质公理化方法的产生 体系 一欧几里得的几何公理 对象( 这一公理系统被认为是从属于这些特定对象的),又 由于这些对象具有明显的直观背景—现实空间(从 而人们就可以用所谓的直观性来作为公理的判断依 据),因此这种公理系统就被称为实质的公理系统 对象 公理 演绎 (2)实质公理系统的特点 研究对象先于公理给出。 公理和公设对自明性有不同的要求 用构造作为存在性的证明。 三、潜形式公理化阶段一-非欧几何体系 (1)改变了几何公理借助直感达到自明的传统观念, 使人们认识到对公理进行科学抽象的重要性,为形 式公理系统的诞生铺平了道路 (2)几种几何理论同时并存的局面事实上已表明几 何理论不再从属于某种特定的研究对象,人们开始 认识到舍弃特定的实质性的对象,仅从形式上“自 由地”建立几何理论的可能,这正是我们把这一阶 段称之为潜形式公理化阶段的原因 四、形式公理化阶段一希尔伯特公理体系德国数学 (希尔伯特于1899年出版的《几何基础》就是形式化公理 方法的典型体现。希氏认为公理系统中所涉及的对象 可以是任何事物,只要它们满足公理所表述的事实 那么,由这些公理出发经由演绎而得出的定理对它们 来说就是成立的。) 特点:(1)公理—对象--演绎 理和公设,整个 系统具有严格的逻辑性 (3)形式公理系统由于具有更高的抽象性,因此也就具有 更高的概括性