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数学实验 寻找最速降线 上海交通大学数学科学学院 数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这 些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着, 而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这 些真理之间的新的接触点. ── C.F.Gauss 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人 类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. ── R.C.Buck 内容提要  回顾微积分有关知识  连续,多元函数极值,积分等  复习微分方程的求解的解析与数值方法  介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法  最速降线求解的仿真方法 背景故事 1696年John Bernoulli 向他的兄长和其他 数学家挑战性地提出了最速降线 （捷线）问题: 一质量为m 的质点，在重力作用下从定点A 沿曲线下滑到定点B ， A 试确定一条曲线，使得质 点由A到B下滑时间最短. 假定B 比A低，不计摩擦力 和其他阻力等因素. B  此问题导致数学新分支的产生. 思考 这是一个求最值的问题  与求函数的极值一样吗？  与求线性规划问题中的极值一样吗？  它的数学形式怎样？ 历史 1697年5月号 “教师学报”接收了5篇解答报告 贝努利 约翰 Bernoulli,Johann  欧洲著名科学家族  涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、 概率论以及变分法 更贡献于物理、化学和天文学  谁发现 L’Hospital 法则  欧拉的指导者和老师  瑞士的骄傲 问题数学形式 c x A 设曲线为 y y(x), (x [0,c]) 满足 y (0) 0, y (c) H 若 T T (y ) {质点沿 y y (x) B 下滑的时间} y 我们要求的是怎样的函数y (x) 使得T(y ) 取得最小值 minT(y ) 近似方法 如图建立坐标系,设A为原 A xk- 1 xk c x 点, B为(c,H), 将带状区域 y k- 1 0 y H 用平行于 x 轴的 y k 直线 y y k kH/n 把这区域 B 分成 n个带状小区域. y 在带状域y k-1y y k ,可近似认为 vk 2gyk 而曲线段近似认为是直线段,其