第2章常微分方程初值问题数值解法.ppt

数值分析 第 9 章 常微分方程初值问题数值解法 31 Th ( , ) f x y 对于初值问题 ，如果 关于 满足 ( ) ? （向前 Euler 方法的 整体截断 误差） Lipschitz 条件， 为对应的 Lipschitz 常数，当 , K L 0 h ? 时，向前 Euler 方法的数值解 一致收敛 , x y 于初值问题 的精确解，且 整体截断 误差满足估计式 ? ? n y ( ) ? 0 1 2 ( ) ( ) ( )[ ] b a L b a L n h K e e e M e L ? ? ? ? ? ? 如果 ， Euler 方法的 整体截断 误差为 ( ) O h 0 0 ( ) y y x ? 数值分析 第 9 章 常微分方程初值问题数值解法 32 一、 Runge-Kutta 方法的基本思想 § 3 龙格 - 库塔（ Runge-Kutta ）方法 显式 单步法的一般形式： 1 ( , , , ) n n n n y y h x y f h ? ? ? ? R-K 方法是利用一些点的线性组合构造 增量函数 ， 使得相应方法的 局部 截断误差的 阶数 尽可能 高 。 ? 二阶 Runge-Kutta 方法 1 2 2 21 ( , , , ) ( , ) ( , ( , )) x y f h c f x y c f x h y hf x y ? ? ? ? ? ? ? 确定参数 ，使得 1 2 2 21 , , , c c ? ? 与 在点 的 Taylor 展开式有尽可能多的 相同项 。 ( ) ( , , , ) y x h x y f h ? ? ( ) y x h ? x 数值分析 第 9 章 常微分方程初值问题数值解法 33 1 2 2 21 ( ) ( , , , ) ( ) [ ( , ) ( , ( , ))] y x h x y f h y x h c f x y c f x h y hf x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 2 21 ( ) { ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )]} x y y x h c f x y c f x y hf x y hf x y f x y O h ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h y x h y x hy x y x O h ? ?? ? ? ? ? ? 2 2 ( ) { ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )] ( )} x y h y x h f x y f x y f x y f x y O h ? ? ? ? ? 比较两式的 相同项 得 2 21 1 2 c ? ? 1 2 1 c c ? ? 2 2 1 2 c ? ? ? 方程组有无穷多解 数值分析 第 9 章 常微分方程初值问题数值解法 34 若取其一组解 1 2 2 21 1 1 1 2 , , c c ? ? ? ? ? ? 2 1 ( , ) n n K f x h y hK ? ? ? 1 1 2 2 ( ) n n h y y K K ? ? ? ? 1 ( ) n n K f x y ? ? 则得到 改进 的 Euler 公式（ 二阶 方法） 若取其另一组解 1 2 2 21 1 3 2 4 4 3 , , c c ? ? ? ? ? ? 则得到 二阶 的 Heun （休恩）公式。 数值分析 第 9 章 常微分方程初值问题数值解法 35 二、显式 Runge-Kutta 方法及其稳定性 和 f Def 设 是一个正整数，代表使用函数值 的个数， m 是一些特定的权因子（均为 2 3 1 2 1 , ( , , , ; , , , i ij i m j i ? ? ? ? ? 1 2 ( , , , ) i c i m ? 实数），则称下列方法（公式） 1 1 1 ( ) n n m m y y h c K c K ? ? ? ? ? 为初值问题 的 m 级 显式 Runge – Kutta 公式， 其中 ( ) ? 1 1 ( , ) m m n m n mi i i K f x h y h