23内积空间与希尔伯特空间.pdf

文档 2.3 积空间与希尔伯特空间 通过前面的学习，知道 n 维欧氏空间就是 n 维线性赋空间的“模型” ，数相当于向量的模， 表明了线性赋空间的代数结构． 对于三维向量空间， 我们知道向量不仅有模， 而且两个向量有 夹角， 例如 为向量 和 的夹角时有： cos 或者 cos ，其中 表示两 个向量的数量积 (或点积或积 )， 表示向量的模． 于是便有了直交性、 直交投影以及向量的分 解等概念，这些均反映了空间的“几何结构” ．通过在线性空间上定义积，可得到积空间，由 积可导出数，若完备则为 Hilbert 空间． 2.3.1 积空间 定义 1.1 设 U 是数域 K 上的线性空间， 若存在映射 ( , ) ：U U K ，使得 x , y ,z U ， K ，它满足以下积公理： (1) (x, x) 0 ； (x ,x) 0 x 0 ； 正定性 (或非负性 ) (2) ( x, y ) ( y ,x ) ； 共轭对称性 (3) ( x z, y) (x, y) (z, y) ， 线性性 则称在 U 上定义了积 ( , ) ，称 (x , y) 为 x 与 y 的积，U 为 K 上的 积空间 ( Inner product spaces)．当 K R 时，称 U 为实积空间； 当 K C 时，称 U 为复积空间． 称有限维的实积空间为欧几里德 (Euclid spaces)空间 , 即为欧氏空间；称有限维的复积空间为酉 (Unitary spaces)空间． 注 1：关于复数：设 z a bi C ，那么 z a2 b2 oz ； z r (cos i sin ) 其中 为辐 2 射角、 r z ； z z z ； z z ；对于 z , z C ，有 z z z z ． 1 2 1 2 1 2 注 2 ：在实积空间中，第二条积公理共轭对称性变为对称性． 注 3 ：在复积空间中，第三条积公理为 第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的． 因为 ( x, y ) ( y, x) ( y, x) ( y, x) ( x, y) ，所以有 (x, y z ) (x , y ) (x ,z ) ， 即对于第二变元是共轭线性的． 在实积空间中， 第三条积公理为第一变元、 第二变元均为线性 的． 在 n 维欧氏空间 Rn 中， , Rn ，有 cos ，即 cos ．下 文档 1 面的引理说明这样的性质在积空间上同样成立．如果在积空间上定义数 x (x ,x )2 ，其中