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曲线拟合的最小二乘法
在生产与科研中,常给出一组离散数据
(xy2)(x2y2)…(xyM)
要确定变量x与y的函数关系y=f(×)
近似方法一:构造插值多项式P(x),使Pn(x)=yi=0
(过点)
近似方法二:曲线拟合
Problem已知N个观测数据(x1y1)(x2y2)…xy%)
求一个多项式P(Ⅹ)能最好地反映这些点的总趋势
(不过点)
直线拟合
假设数据点(X)=1~N大致成一条直线
此时拟合曲线为一直线,它从这些点附近通过
设此拟合直线为y=a+bx显然yx)=a+bx≠y1
1
记e=yyx)从而有e1e2……eN称之为残差
e1,e
N总体最小e=(e1/e2…e)的长度最小
直线拟合
向量的长度‖×||(x∈Rn)介绍如下
12=(×2+x2+……+xn2)0.5
l|1=Σ|x
IXlloo=maxxI
Problem已知N组数据(X1y1),(X2y2)……,(XNyN)
求一条直线y=a+bx(即求a,b),使
O(a, b)=el2=e
∑「y-(a+bx:)=min
注:使Q(a,b)=min的a,b构成的直线y-n+bx称为 Problem的
最小二乘拟合直线。
Qab)=l=e2+e2+…+e=∑[y-(a+b)2
求拟合直线关键是求a,b,使Q(a,b)最小
这可称之为最小二乘拟合
由微积分学知,求Qab)的极小值点可解
dO
Na+b∑x=∑
i=1
x
b
db
RiV
称*为正规方程组。解*可得ab,则y=a+bx为所求。
说明:正规方程组的解存在且唯一,且是最小二乘拟合问题的解
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