中考数学培优4“点动成线”之一次函数（教师版）含答案.docxVIP

PAGE 1 PAGE 中考数学培优专题4 “点动成线”之一次函数 知识要点 1．理解一次函数y＝kx＋b中的参数k与b的意义，以及一次函数和一元一次方程、一元一次不等式的关系． 2．理解一次函数图象与参数（k与b）的取值之间的对应关系及其变化规律． 3．理解一次函数图象上点的坐标特征与意义，在本专题中灵活应用“数形结合”数学思想． 【知识点拨】 1．对于一次函数（或直线）y＝kx＋b． ⑴改变常数k时，其图象（直线）恒经过点________，相当于直线绕点________旋转； ⑵改变常数b时，其图象（直线）恒与直线________平行，相当于将直线________进行上下平移，因此解析式中的k，b的值的变化问题，对应于直线的平移和旋转问题． 2．相关定点问题： ⑴不论k为何值，直线y＝kx＋4均经过一定点，这个定点坐标为________； ⑵不论k为何值，直线y＝kx＋k＋4＝k（x＋1）＋4均经过一定点，这个定点坐标为________． 【参考答案】 1．⑴（0，b） （0，b） ⑵y＝kx y＝kx 2．⑴（0，4） ⑵（－1，4） 典例赏析 类型一 直线的相交与方程、不等式的关系 例1 如图4－1，已知直线l：y＝x＋n＋2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，3），D（1，3），若直线l与矩形ABCD的边相交，求n的取值范围． 【分析】画出相应的符合条件的图（如图4－2），从图中不难得到：由于直线l是由直线y＝x（一三象限角平分线）上下平移得到的，因此只需将两“极端点”B和D代入直线l的解析式，求出相应的n的值，即可得到n的取值范围． 【解】当直线l经过B点时，1＝4＋n＋2，解得n＝－5； 当直线l经过D点时，3＝1＋n＋2，解得n＝0． ∴当直线l与矩形ABCD的边相交时，－5≤n≤0． 【点评】由于直线l的特殊性，可以通过数形结合，从直线与矩形间的“形”的关系，探索出“量”的关系，这也是函数类（特别是含参娄）试题的常用解题方法． 拓展与变式1 如图4－3，已知直线l：y＝（m－1）x＋n＋2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，3），D（1，3）． ⑴当n＝－3时，若直线l与矩形ABCD的边相交，则m的取值范围为________； ⑵如图4－4，连接OB，若直线l将矩形ABCD的面积平分，且与线段OB相交，则m的取值范围为________； ⑶若直线l继续过点C，则随着m，n的值的变化，点M（2m－3，1＋2n）会在相应的一个函数图象上运动，度确定这个函数的解析式； ⑷如图4－5，作直线AC，若直线l经过点B，N是直线l上的动点，过点N作直线NE∥y轴交直线AC于点E．设N（a，b），E（c，d），当a≤6时，恒有b≤d，当a≥6时，恒有b≥d，求直线l的解析式． 【答案】⑴1.5≤m≤5 ⑵ ⑶把C（4，3）代入直线l的解析式y＝（m－1）x＋n＋2，得3＝4（m－1）＋n＋2，整理，得n＝－4m＋5，∴．由，得，代入，得，∴点M（2m－3，1＋2n）的坐标满足y＝－4x－1．因此，随着m，n的值的变化，点M必在直线y＝－4x－1上运动． ⑷画出符合题意的图（如图D4－1），由点A（1，1），C（4，3）可求得直线AC为．当x＝6时，，得直线AC和直线l的交点F的坐标为．依题意，当直线l经过点时，符合“当a≤6时，恒有b≤d，当a≥6时，恒有b≥d”，分别将B（4，1）和交点代入直线解析式，可得到直线l的解析式为． 类型二 直线上的点的特征与参数的取值 例2 若直线y＝kx＋k＋1经过点（m，n＋3）和（m＋1，2n－1），且0＜k＜2，则n的值可以是（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意，可将点（m，n＋3）和（m＋1，2n－1）分别代入y＝kx＋k＋1，得n＋3＝km＋k＋1，2n－1＝km＋2k＋1，因题目所给条件与结论均与m的取值无关，因此将m消去可以得到n与k的关系，结合已知条件“0＜k＜2”，进行k到n的转化． 【解】依题意，得，即 由②－①，得n－4＝k，∵0＜k＜2，得0＜n－4＜2，4＜n＜6．故本题应选C． 【点评】此题主要考查了一次函数背景下的点的坐标特征、参数的取值范围的确定，难度不大，但考查的隐藏知识点和解题技巧、试题本身特点（解析式与点的构造），值得深思与借鉴． 拓展与变式2 已知直线y＝kx＋k＋1经过点（2m，n＋3）和（m＋1，1－3n），且0＜n＜2，求k的取值范围． 【答案】依题意，得由②×2－①得－7n－1＝3k＋1，即．代入0＜n＜2，得，解得． 拓展与变式3 已知直线y＝kx－2m＋1经过点（2，5）和（0，2n－1），且0＜n＜2，求k的取值范