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实用标准文案 第四章 Hilbert 空间 一 内积空间的基本概念 设 H 是域 K 上的线性空间， 对任意 x , y H ，有一个中 K 数 ( x , y) 与之对应，使得对任意 x , y ,z H ； K 满足 1 ） (x ,y ) 0 ；(x ,y ) ＝0 ，当且仅当 x 0 ； ___________ 2 ） (x ,y ) ＝ (y ,x ) ； 3 ） ( x ,y ) (x ,y ) ； 4 ） (x y ,z ) ＝(x ,z ) ＋ (y ,z ) ； 称 (, )是 H 上的一个内积， H 上定义了内积称为内积空间。 定理 1.1 设 H 是内积空间，则对任意 x , y H 有： 2 | (x ,y ) | (x ,x )(y ,y ) 。 设 H 是内积空间，对任意 x H ，命 || x || ( x , x ) 则 || ||是 H 上的一个范数。 例 设 H 是区间 [ a, b] 上所有复值连续函数全体构成的线性 空间，对任意 x , y H ，定义 ________ b ( x , y ) a x (t ) y(t )dt 2 则与 L [ a,b] 类似， ( x , y ) 是一个内积，由内积产生的范数为 1 b 2 2 || x || ( a | x (t ) | dt ) 上一个内积介不是 Hilbert 空间。 精彩文档 实用标准文案 定理 1.2 设 H 是内积空间，则内积 ( x , y) 是 x , y 的连续 函数，即时 x x ， y y ， ( x , y ) ( x , y) 。 n n n n 定理 1.3 设 H 是内积空间，对任意 x , y H ，有以下关 系式成立， 1 ） 平行四边形法则： 2 2 2 2 || x y || ＋ || x y || ＝2 (|| x || || y || ) ； 2 ） 极化恒等式： 1 2 2 2 ( x , y) ＝ （|| x y || － || x y