概率论和数理统计 概率统计18 1 文档资料.ppt

概率论与数理统计 作业交两面内容全学的页码 § 7.4 区间估计 一、概念 如何用样本构造随机区间估计未知参数 ? ？ 对给定的 置信水平 ( 置信度 ) 1 － ? 由样本 ( X 1 ， X 2 ， … ， X n ) 构造随机区间： 置信下限 ( X 1 , X 2 ,…, X n ) 和 置信上限 ( X 1 , X 2 ,…, X n ) 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ) ? ? ( 2 1 P 使 称 为未知参数 ? 的置信度为 1 － ? 的 双侧置信区间 。 ) ? , ? ( 2 1 ? ? 问题： 办法： 含义： 包含 ? 。 若 1 － ? =0.95 ，抽样 100 次中约有 95 个 ) ? , ? ( 2 1 ? ? 求解双侧置信区间的步骤如下： 1 寻找分布已知的随机变量 1 2 ? ( ( ( , , , ), ) ) 1 n P a g X X X b ? ? ? ? ? ? ? 2 构造概率为 1 － α 的事件，使 1 1 2 2 1 2 ? ? ( ( , , , ) ( , , , )) 1 n n P X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? 3 由上式等价事件，解置信区间 1 2 ? ( ( , , , ), ); n g X X X ? ? θ 的点估计 ( ) 1 / X P b n ? ? ? ? ? ? ? 二、 N ( ? , ? 2 ) 中 ? 的置信区间 1 、 ? 2 已知 2 ~ ( , / ) X N n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ) / ( 2 / u n X P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ) ( 2 / 2 / u n X u n X P 即参数 ? 的置信度为 1 － ? 的 置信区间 为 ) , ( 2 / 2 / ? ? ? ? u n X u n X ? ? ) ( 2 / ? ? u n X ? 或 ~ (0,1) X U n N ? ? ? ? ) , ( 2 / 2 / ? ? ? ? u n x u n x ? ? 置信区间的观察值为 其 单侧置信区间 为 ( , ) X u n ? ? ?? ? 或 ( , ) X u n ? ? ? ?? 例 1 滚珠直径 X ~ N ( μ ,0.0006) n =6 : 1.46 1.51 1.49 1.48 1.52 1.51 求 μ 的置信度为 95% 的置信区间。 解 495 . 1 ? x 05 . 0 ? ? 96 . 1 025 . 0 2 / 05 . 0 ? ? u u ? ) 96 . 1 6 0006 . 0 495 . 1 ( ? ? ) 5146 . 1 , 4754 . 1 ( ? 注：双侧置信区间的 长度 ： 2 / 2 ? ? u n l ? ? （ 1 ） l 与 σ 正比； （ 2 ） l 与 反比； n （ 3 ） 1- ? 越小， l 越小 2 、 ? 2 未知 ) 1 , 0 ( ~ N n X U ? ? ? ? ) 1 ( ~ ? ? ? n t n S X T ? ? ? ? ? ? ? 1 )) 1 ( ( 2 n t T P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 )) 1 ( ) 1 ( ( 2 2 n t n S X n t n S X P 即参数 ? 的置信度为 1 － ? 的 置信区间 为 ) ) 1 ( ( 2 / ? ? n t n S X ? 例 2 （续例 1 ）若 σ 未知，则计算可得 s =0.02258 ，查表 t 0.025 （ 5 ） =2.5706 ，算得 ? 的置信度为 0.95 的置信区间为 ) 5187 . 1 , 4713 . 1 ( ) 0237 . 0 495 . 1 ( ? ? 其 单侧置信区间 为 ( , ) X u n ? ? ?? ? 或 ( , ) X u n ? ? ? ?? 三、 N ( ? , ? 2 ) 中 ? 2 的置信区间 ), 1 ( ~ ) 1 ( 2 2 2 2 ? ? ? n S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 )) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ( 2 2 2 2 2 2 1 n S n n P ?