注意亦利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵.ppt

注意：亦可利用矩阵的初等 列变换求解逆矩阵 . 事实上：因为 1 2 1 1 ) ( ? ? ? l P P P A ? 1 1 1 2 1 ? ? ? ? P P P l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 A E EA AA A E A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ~ A E E A 列变换 所以 2 、利用矩阵的初等行变求 解矩阵方程 . ? 事实上，对于 B AX ? 若 A 可逆，则有 B A AX A X 1 1 ? ? ? ? 对应于： ? ? ? ? B A E B A A 1 1 ? ? ? 即 ? ? ? ? 1 A B A A B 行变换 ～ ? 例 3 . 设 AX = B , 求 X . 其中 解 若 A 可逆，则 B A X 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 3 4 3 1 3 1 2 2 5 2 3 2 1 B A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 2 6 2 0 9 1 5 2 0 5 2 3 2 1 ~ 1 2 3 2 5 2 2 1 , 3 1 3 4 3 4 3 A B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 2 6 2 0 9 1 5 2 0 5 2 3 2 1 ~ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 1 0 0 9 1 5 2 0 4 1 2 0 1 ~ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 1 0 0 6 4 0 2 0 2 3 0 0 1 ~ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 1 0 0 3 2 0 1 0 2 3 0 0 1 ~ 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 1 2 3 X 同理亦可求解矩阵方程 C YA ? 若 可逆，则有 A 1 ? ? CA Y 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ~ CA E C A 列变换 例 4 . 设 A 的伴随矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 A 且有 , 3 1 1 E BA ABA ? ? ? ? 求 B . 解 : 在 E BA ABA 3 1 1 ? ? ? ? 两边左乘 , ? A 右乘 A ，得 A E BA A A ABA A ) 3 ( ) ( 1 1 ? ? ? ? ? ? 即 因为 , | | E A A A ? ? 而 , 8 | | | | 3 ? ? ? A A 从而有 2 | | ? A （ * ） 故（ * ）式可改写为 E B A B 6 2 ? ? ? 即 E B A E 6 ) 2 ( ? ? ? 所以 1 ) 2 ( 6 ? ? ? ? A E B 1 * 1 3 A ABA A A BA A A A ? ? ? ? ? ? 1 ) 2 ( 6 ? ? ? ? A E B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 6 0 6 0 0 6 0 0 0 0 6 1 0 0 0 0 1 0 0 6 1 0 1 0 1 0 0 0 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第三章 小 结 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 矩 阵 的 初 等换 初 等 方 阵 矩 阵 的 秩 线 性 方 程 组 矩 阵 的 初 等 变 换 概 念 1. 对换矩阵的 i , j 两行（列） . 2. 用 k ≠0 乘矩阵的第 i 行（列） . 3. 把某 i 行（列）的 k 倍加到另一行 （列）的对应元素上去 . 性 质 1. 初等变换不改变矩阵的秩 . 2. 对 A 经过有限次初等变换得到 B ， 则 A