弹塑性力学第03章3幻灯片资料.ppt

厚度为一个单位。 r，θ坐标的正方向按图示箭头方向规定（r由坐标原点O向外为正，θ由x轴正向沿第一象限向y轴正向旋转为正） （二）几何方程 （3-23）第一式易得。 （3-23） ?θ一般是有两种原因引起的： 1.ur≠0，uθ=0 线段AB的伸长率 2.ur=0，uθ≠0 环向正应变 表示环向微段AB向r方向转过的角度 切应变 表示径向微段AC向?方向转过的角度 参考吴3-1节 P34式(d) 从x轴正向向y轴正向转动 几何意义？ （三）物理方程 对平面应变问题，只须将式（3-24）中的E、?分别改成 和 。 （3-24） （四）莱维（Lévy）方程 采取数学上的处理 （五）应力函数与双调和方程 可以验证（3-26）式表示应力满足平衡微分方程 （3-26） §3-7 平面轴对称应力问题 一、轴对称应力和相应的位移 二、厚壁圆筒内外壁受均布压力 三、曲梁的纯弯曲 一、轴对称应力和相应的位移 在工程上经常会出现构件受到的外力关于坐标原点对称问题，因而可以假设应力函数 和 无关，即 展开式（a）并在等式两边乘以r4，便得到欧拉（Euler）方程： （a） 设 or 通解 轴对称应力 （应力分量均与θ无关 ） 与轴对称应力对应的位移不一定是轴对称的。 位移分量： I，K，H与刚体位移有关 。 式（3-29）证实了应力轴对称并不表示位移也一定是轴对称的，而只有当物体的几何形状和受力情况均是轴对称的，位移才是轴对称的，而在此时环向位移uθ不管r，θ为何值都得为零，由式（3-29）的第二式得到 B=H=I=K=0 在这种状况下，应力分量则为 （3-29） 而位移分量为 以上公式适合于平面应力问题，对于平面应变问题，只须让E1,?1代替上述公式中的E， ?即可。 （3-30） （3-31） 二、厚壁圆筒内外壁受均布压力 考察内径为2a、外径为2b的很长圆筒，在圆筒内外壁分别受到均匀分布压力q1和q2的作用。 几何形状与受力都关于坐标原点O对称。 平面应变问题。 边界条件 （3-30） q2=0，圆筒只受内壁压力时 三、曲梁的纯弯曲  图示曲梁，内半径为a，外半径为b，两端受弯矩M的作用。 由于梁的每一个径向截面受到的弯矩都是M，显然属于应力轴对称问题，但曲梁的几何形状不对称于O点，位移分量是非轴对称的。 边界条件 求位移分量 θ角从曲梁的某一端量起 §3-8 圆孔孔边应力集中 设有一个在x方向承受均匀拉伸（拉应力为σ）的平板，板中有半径为a的小圆孔如图所示。现在来分析小圆孔对附近应力分布的影响。 以极坐标来求解。 假设在距圆孔中心距离为b（b》a）的圆周上，小圆孔的影响可以忽略。于是有 即 （a） 式（a）表明：圆周b上的应力可以分两个部分来计算，最后进行叠加。 2. 取二次多项式为应力函数 = a2x2 + b2xy + c2y2 满足 对应的应力分量为 常应力状态 3. 取三次多项式为应力函数 = a3x3 + b3x2y + c3xy2+d3y3 验证！ 如已知上述梁两端受到弯矩M的作用，但不知具体分布的形式，则根据局部性原理  圣维南原理 在求解弹性力学问题时，应力分量、应变分量和位移分量等必须满足区域内的三套基本方程和边界上的边界条件，因此，弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题。实际中要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界（放松边界条件）上的应力边界条件提供方便。 表述1：若在物体任一小部分上作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内所产生的应力分布仅局限于该力系作用的附近区域，在离该区域的相当远处，这种影响便急剧地减小。这就是圣维南原理，或称为局部性原理。 圣维南原理 表述2：若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来代替，则在力系作用区域附近的应力分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可以不计。 4. 取四次多项式为应力函数 该函数代入双调和方程后得到 3a4+c4+3e4=0 现在仅以其中的一项为例，即取 （3-16） §3-4 若干典型实例 在工程实际中，常常是针对给定的问题进行求解的，这就要运用半逆解法。 （一）悬臂梁端部受切向集中力(凑取多项式) （二）悬臂梁受均匀分布荷载作用(分析物体受力特点) （三）简支梁受均布荷载(将材料力学的一些结果加以修正) （四）三角形水坝(量纲分析法) 半逆解法 所谓半逆解法，即对于给定的问题，根据弹性体的几何形状、受力特点或材料力学已知的初