级数与序列的基本性质.ppt

Department of Mathematics 第一节 级数和序列的基本性质 (2) 复变函数项级数 设 { f n ( n )}( n= 1,2, … ), 在复平面点集 E 上有定义， 那么： .. ) ( ... ) ( ) ( 2 1 ? ? ? ? z f z f z f n 是定义在点集 E 上的复变函数项级数，记为 ， 或 ? ? ? ? ? ) ( ) ( 1 z f z f n n n 设函数 f ( z ) 在 E 上有定义，如果在 E 上每一点 z ， 此级数都收敛于 f ( z ) ，那么我们说它在 E 上收敛 （于 f ( z ) ），或者此级数在 E 上有和函数 f ( z ) ，记 作 ), ( ) ( 1 z f z f n n ? ? ? ? ? 复变函数序列 设 ),.. ( ),..., ( ), ( 2 1 z f z f z f n 是 E 上的复变函数列，记作 或 。 ? ? ? 1 )} ( { n n z f )} ( { z f n 设函数 在 E 上有定义，如果在 E 上每一点 z ， ) ( z ? 序列 都收敛（于 ），那么我们说此序 列在 E 上收敛（于 ），或者此序列在 E 上有 极限函数 ，记作 )} ( { z f n ) ( z ? ) ( z ? ) ( z ? ), ( ) ( lim z z f n n ? ? ?? ? 注解： 注解 1 、复变函数项级数 收敛于 f ( z ) 的 定义可以叙述为： ? ) ( z f n N ? ? 有 时 使得当 , , 0 , 0 N n N ? ? ? ? ? ? 注解 2 、复变函数序列 { f n ( n )} 收敛于 的 定义可以叙述为： . | ) ( ) ( | 1 ? ? ? ? ? z f z f n k k ) ( z ? N ? ? 有 时 使得当 , , 0 , 0 N n N ? ? ? ? ? ? . | ) ( ) ( | ? ? ? ? z z f n 一致收敛 如果任给 ，可以找到一个只与 有 关，而与 z 无关的正整数 ，使得当 时，有 0 ? ? ? E z N n ? ? , ) ( ? N N ? . | ) ( ) ( | ? ? ? ? z z f n . | ) ( ) ( | 1 ? ? ? ? ? z f z f n k k 或 那么我们说级数 或序列 在 E 上 一致收敛（于 f ( z ) 或 ）。 ? ) ( z f n )} ( { z f n ) ( z ? 注解： 注解 1 、和实变函数项级数和序列一样，我们也 有相应的柯西一致收敛原理： 柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变 函数项级数 在 E 上一致收敛的必要与充分 条件是：任给 ，可以找到一个只与 有关 ，而与 z 无关的正整数 ，使得当 ， p =1,2,3, … 时，有 0 ? ? ? ) ( ? N N ? E z N n ? ? , . | ) ( ... ) ( ) ( | 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? z f z f z f p n n n ? ) ( z f n 柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函 数序列 { f n ( n )} 在 E 上一致收敛必要与充分条件是 ：任给 ，可以找到一个只与 有关，而 与 z 无关的正整数 ，使得当 时，有 注解： 0 ? ? ? ) ( ? N N ? E z N n m ? ? , , . | ) ( ) ( | ? ? ? z f z f m n 注解： 注解 2 、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（ M- 判 别法）：设在复平面点集 E 上 ,... 2 , 1 )}( ( { ? n z f n 有定义，并且设 ... ... 2 1 ? ? ? ? n a a a 是一个收敛的正项级数。设在 E 上， ? ) ( z f n ,... 2 , 1 ( | ) ( | ? ? n a z f n n 那么级数 在 E 上一致收敛。