弹塑性力学第05章3教程文件.ppt

（2）固定边界 固定边界上的挠度和转角为零，故有边界条件： （5-21） （3）自由边界 自由边界上的弯矩和总的分布剪力为零。例如，对于图5-7中的AB边，应有（My）y=b=0，（ ）y=b=0；对于CB边，应有（Mx）x=a=0，（ ）x=a=0。注意到式（5-6）的前两式和式（5-17）、式（5-18），有 （5-22） （4）角点条件 如上所述，当沿板边的扭矩变换为等效分布剪力后，在板的角点将产生一个集中力。如果角点受到支承，如图5-8 中的O点，这个集中力就是支座对板的角点O的集中反力。在求得了挠度w后，这个集中力可由式（5-19）求得。对于悬空的角点，例如图5-7中的两自由边界的交点B，则应有 FRB=2（Mxy）B=0即 如果在B点有支座，而其挠度被阻止发生，则应有 （5-23） §5-5 四边简支矩形薄板的重三角级数解 由上述几节建立的求解弹性薄板弯曲问题的基本方法可归属为位移解法。本节介绍纳维（Navier）的重三角级数解法。 图5-9 图5-9所示一四边简支矩形薄板，边长分别为a和b，受任意分布的横向荷载q(x,y)作用。此问题的边界条件为 当x=0和x=a时，w=0， 当y=0和y=b时，w=0， （a） （b） 挠度函数取重三角级数，即设 （5-24） 其中，m和n为正整数，Amn为待定系数。显然，它已满足边界条件式（a）和式（b）。将式（5-24）代入式（5-13），得 （c） 为了确定系数Amn，可以用两种方法：一种方法是将q（x,y）展成重三角级数（其中的系数可由函数的富氏级数公式确定），然后代入式（c），比较等式两边同类项的系数，即可求得Amn。另一种方法是把式（c）看成是q（x,y）的展开式，从而求出系数Amn。这里采用后一种方 法。在式（c）两边同乘 ,然后分别从0到a和从 0到b对x和y进行积分，并利用三角函数的正交性: 于是得到 （d） 代入式（5-24）得 （5-25） 由此可进一步求内力和支座反力。下面举两个算例。 例5-1 边长分别为a和b的四边简支板受均布荷载q0作用，试求板的挠度、弯矩和扭矩。 解 由式（d）算得 故 （e） 最大挠度在板的中心 ，为: （f） 图5-10 由此不难利用有关公式求得弯矩和扭矩。 例5-2 边长为a和b的四边简支矩形薄板，在板面任意一点A（ ，η）受集中力P作用（图5-10），试求板的挠度。 解 对于集中荷载，可以看成作用在边长为Δx=Δξ，Δy=Δη的微 面积上的均布荷载 ，其余各处，荷载为零。由式（d） 并利用积分中值定理，得: 于是得板的挠度为 （g） 如P作用于板的中心（x=a/2,y=b/2），则该点的挠度为 本节介绍的纳维解法的优点是：适用于多种荷载情况而且求解时比较简单；但它的缺点是：只适用于四边简支的矩形板，且级数收敛较慢，特别是计算内力时，要计算很多项。 §5-6 矩形薄板的三角级数解 对于有两对边简支的矩形板，可以采用莱维（Lévy）解法，它和纳维解法相比，适用范围更广，收敛性也比较好。 图5-11 仍设矩形板的边长分别为a和b，x=0及x=a为简支边，y=±b/2边可以为任意支承（图5-11）。现取挠度为如下单三角级数： （5-26） 其中，Ym（y）是待定函数，级数（5-26）已经满足了 一对简支边的边界条件，即 因此，只要确定函数Ym（y），以使弹性曲面微分方程和 两边上的边界条件被满足即获解。 为此，将式（5-26）代入方程（5-13），得: （a） 将式（a）右边的 展开为傅里叶级数，有 （b） 其中 （c） 将式（c）式代入式（b），并与式（a）对比，应有 （d） 其中，fm(y)是方程（d）的任一特解，荷载q已知时，可由式（d）右边积分的结果来选择，而系数Am，Bm，Cm，Dm可由 处的边界条件确定。 将式（e）代入式（5-26），即得挠度表达式： 式（d）作为常微分方程，其解为 （e） （5-27） 下面举两个算例。 例5-3　设图5-11所示的矩形薄板是四边简支的，受均布荷载q0作用，求挠度。 解　当分布荷载为均布荷载q0时，式（d）右边的积分为 图5-11 于是微分方程（d）的特解可以取为 第五章 薄板的小挠度弯曲 板是工程中常用的构件，当外荷载作用方向平行于板