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初中数学模型解题法 解答题 1. （2001 江苏苏州 6 分）如图，已知 AB 是半圆 O 的直径， AP 为过点 A 的半圆的切线。在 上任取一点 C （点C 与 A 、B 不重合），过点 C 作半圆的切线 CD 交 AP 于点 D；过点 C 作 CE ⊥AB ，垂足为 E ．连接 BD ，交 CE 于点 F 。 （1）当点 C 为 的中点时（如图 1），求证： CF=EF ； （2 ）当点 C 不是 的中点时（如图 2 ），试判断 CF 与 EF 的相等关系是否保持不变，并证 明你的结论。 【答案】解： （1）证明：∵ DA 是切线， AB 为直径，∴ DA ⊥AB 。 ∵点 C 是 的中点，且 CE ⊥AB ，∴点 E 为半圆的圆心。 又∵ DC 是切线，∴ DC⊥EC 。 又∵ CE ⊥AB ，∴四边形 DAEC 是矩形。 ∴CD ∥AO ，CD=AD 。∴ ，即 EF= AD= EC 。 ∴F 为 EC 的中点， CF=EF 。 （2 ）CF=EF 保持不变。证明如下： 如图，连接 BC ，并延长 BC 交 AP 于 G 点，连接 AC ， ∵AD 、DC 是半圆 O 的切线，∴ DC=DA 。 ∴∠ DAC= ∠DCA 。 ∵AB 是直径，∴∠ ACB=90 °。∴∠ACG=90 °。 ∴∠ DGC+ ∠DAC= ∠DCA+ ∠DCG=90 °。 ∴∠ DGC= ∠DCG 。 ∴在△ GDC 中， GD=DC 。 ∵DC=DA ，∴ GD=DA 。 ∵AP 是半圆 O 的切线，∴ AP ⊥AB 。 又∵ CE ⊥AB ，∴ CE ∥AP 。∴△ BCF ∽△ BGD ，△ BEF ∽△ BAD 。 ∴ 。 ∵GD=AD ，∴ CF=EF 。 【考点】探究型， 圆的综合题， 切线的性质， 矩形的判定和性质， 平行线分线段成比例定理， 等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由题意得 DA ⊥AB ，点 E 为半圆的圆心， DC ⊥EC ，可得四边形 DAEC 是矩形， 即可得出 ，即可得 EF 与 EC 的关系，可知 CF=EF 。 （2 ）连接 BC ，并延长 BC 交 AP 于 G 点，连接 AC ，由切线长定理可得 DC=DA ，∠ DAC= ∠DCA ，由角度代换关系可得出∠ DGC= ∠DCG ，即可得 GD=DC=DA ，由已知可得 CE ∥AP ， 所以 ，即可知 CF=EF 。 2. （2001 江苏苏州 7 分）已知一个三角形纸片 ABC ，面积为 25 ，BC 的长为 10，∠B 、∠ C 都为锐角， M 为 AB 边上的一动点 （M 与 A 、B 不重合），过点 M 作 MN ∥BC 交 AC 于点 N ， 设 MN=x 。 （1）用 x 表示△ AMN 的面积； （2 ）△AMN 沿 MN 折叠，使△ AMN 紧贴四边形 BCNM （边AM 、AN 落在四边形 BCNM 所 在的平面内） ，设点 A 落在平面 BCNM 内的点 A ′，△ A ′MN 与四边形 BCNM 重叠部分的 面积为 y 。 ①用的代数式表示 y，并写出 x 的取值范围； ②当 x 为何值时，重叠部分的面积 y 最大，最大为多少？ 【答案】解： （1）∵ MN ∥BC ，∴△ AMN ∽△ ABC 。∴ 。 ∴ ，即 。 （2 ）①当点 A ′落在四边形 BCMN 内或 BC 边上时， （0 ＜x ≤5 ）。 当点 A ′在四边形 BCMN 外， 连接 AA ′与 MN 交于点 G 与 BC 交于点 F ， ∵MN ∥BC ，∴ ，即 。 ∴AG= x 。∴ AA ′=2AG=x 。∴ A ′F=x －5 。 ∴ ，即 。 ∴ 。 ∴重合部分的