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第九讲刃何图形的计数
在数学竞赛试题和中考中,经常出现一些几何计数问题,所谓几何计数是指
计算满足一定条件的图形的个数.它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,
必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果
本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法
学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,更重要的是使我们
感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想、分类讨论思想和转
化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,我们所使用的所有计数方法都离
不开分类
下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧!
(一)数线段
例1你是怎样数的?
数线段时,可以线段的左端点进行分类,逐类分别数出线段条数后相加
AB、AC、AD、AE、AF共5条
BC、BD、BE、BF共4条注意:这里涉及到数学中很重要的思想方
CD、CE、CF共3条
B、珧类的想方、在何计数由怎
DE、DF共2条
样分类》本例所介绢韵是龙法(;按照
角6解形进行分类;(2)先划分出基
本图形,再按照包含基本图形的数目分
合计有5+43+2+1=15(条)类
这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+n(n+D可
如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)(或含有n个“基本线段
基础训练1.共有6×(6+1)÷2=21(条)
基础训练5下图中共有个三角形
顶点为O,且
边在AB上的三角形有3×4÷2=6(个);
边在RC上的三角形有4×5÷2=10(个);
边在AC上的三角形有3×4÷2=6(个
再加△ABC,所以共有23个三角形
B
(四)数长方形、平行四边形和正方形
图中共有个长方形
线段1M与AE对应着长方形AMPE
AM与AG对应着长方形AMQG
AM与AB对应着长方形AMNB,
Q
DFHC
AM与EG对应着长方形EPQG
AM与EB对
方形EPNB,AM与GB对应着长方形GQNB.
就是说4M与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形,共6个长方形
1D边上共有3条线段,其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形
所以共有3×6=18个长方形
般的,类似于这样的长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,
纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)m个
例4横边上有8×(8+1)÷2=36条线段,纵边上有7×(7+1)÷2=28条线段
所以共有36×28=1008个平行四边形
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