2020版微点教程高考人教A版文科数学一轮复习课件第七章 立体几何 课时作业45.ppt

课时作业 ( 四十五 ) 球与空间几何体的接、切问题 一、选择题 1 ． 四棱锥 P － ABCD 的底面 ABCD 是边长为 6 的正方形， 且 P A ＝ PB ＝ PC ＝ PD ，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高 是 ( ) A ． 6 B ． 5 C ． 9 2 D ． 9 4 解析 由题意知， 四棱锥 P － ABCD 是正四棱锥， 球的球心 O 在四棱锥 的高 PH 上， 过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图， 其中 PE ， PF 是斜高， G 为球面与侧面的切点。设 PH ＝ h ，易知 Rt △ PGO ∽ Rt △ PHF ，所以 OG FH ＝ PO PF ，即 1 3 ＝ h － 1 h 2 ＋ 3 2 ，解得 h ＝ 9 4 ，故选 D 。 答案 D 2 ．在封闭的直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球。若 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， AA 1 ＝ 3 ，则 V 的最大值是 ( ) A ． 4π B ． 9π 2 C ． 6π D ． 32π 3 解析 设球的半径为 R ，因为△ ABC 的内切圆半径为 6 ＋ 8 － 10 2 ＝ 2 ，所 以 R ≤ 2 。又 2 R ≤ 3 ，所以 R ≤ 3 2 ，所以 V max ＝ 4 3 × π × ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ＝ 9π 2 。 答案 B 3 ．某正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的高为 4 ，底面 边长为 2 ，则该球的表面积为 ( ) A ． 81π 4 B ． 16π C ． 9π D ． 27π 4 解析 由题意易知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 R ，则 (4 － R ) 2 ＋ ( 2) 2 ＝ R 2 ，解得 R ＝ 9 4 ，所以该球的表面积为 4π × ? ? ? ? ? ? ? ? 9 4 2 ＝ 81 4 π 。故选 A 。 答案 A 4 ．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为 ( ) A ． 13 3 π B ． 17 3 π C ． 19 3 π D ． 22 3 π 解析 由正视图可知， 三棱柱的底面边长为 2 ，高为 1 。易知外接球 的球心 O 在上、下底面两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一 个顶点的线段长即为球 O 的半径，则 R 2 ＝ ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 ＋ ? ? ? ? ? ? 2 3 3 2 ＝ 19 12 ( 其中 R 为球 O 的半径 ) ，则球 O 的表面积 S ＝ 4π R 2 ＝ 4π × 19 12 ＝ 19 3 π 。故选 C 。 答案 C 5 ．四面体 A － BCD 的四个顶点都在球 O 的球面上， AB ⊥平面 BCD ， △ BCD 是边长为 3 的等边三角形。若 AB ＝ 2 ，则球 O 的表面积为 ( ) A ． 12π B ． 16π C ． 32π 3 D ． 32π 解析 将四面体 A － BCD 补形成正三棱柱，则其外接球的球心为上、 下底面的中心连线的中点。易得△ BCD 的外接圆半径为 3 ，所以外接球球 O 的半径 R ＝ ? 3 ? 2 ＋ ? ? ? ? ? ? ? ? AB 2 2 ＝ 2 ， 所以球 O 的表面积 S ＝ 4π R 2 ＝ 16π 。 故选 B 。 答案 B 6 ． 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的外接球的表面积为 ( ) A ． 25π B ． 26π C ． 32π D ． 36π 解析 由三视图可知，该几何体是以俯视图为底面，一条侧棱与底面 垂直的三棱锥，如图中三棱锥 A － BCD 所示，设该几何体外接球的球心为 O 。 由勾股定理可得 CD ＝ 1 2 ＋ ? 3 ? 2 ＝ 2 ， tan ∠ CBD ＝ 3 3 ， 即∠ CBD ＝ 30° 。 由正弦定理可得△ BCD 的外接圆直径 2 r ＝ 2 sin30° ＝ 4 。设球 O 的半径为 R ， 易知 O 为 AD 的中点，则由勾股定理得 4 R 2 ＝ AB 2 ＋ 4 r 2 ＝ 32 ，所以该几何体 的外接球的表面积 S ＝ 4π R 2 ＝ 32π 。故选 C 。 答案