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24.4 弧长和扇形面积 第二十四章 圆 第 1 课时 弧长和扇形面积 1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程 .( 难点） 2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算 . （重点） 学习目标 问题 1 如图，在运动会的 4 × 100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题 2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为这些弯道的“展直长度”是一样的 . 导入新课 甲 乙 思考 : (1) 半径为 R 的圆 , 周长是多少？ (2)1 ° 的圆心角所对弧长是多少？ n ° O (4) n ° 的圆心角所对弧长 l 是多少？ 1 ° C= 2π R （ 3 ） n ° 圆心角所对的弧长是 1 ° 圆 心角所对的弧长的多少倍？ n 倍 讲授新课 弧长公式的推导 一 2 360 180 R R ? ? ? 180 n R l ? ? 用弧长公式 ， 进行计算时，要注意公式中 n 的 意义． n 表示 1 ° 圆心角的倍数，它是不带单位的 . 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为 90 °， 半径是 4 ， 则弧 长为 ____. ? 2 要点归纳 弧长公式 180 n R l ? ? 例 1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度 l. ( 单位： mm ，精确到 1 mm ) 解：由弧长公式， 可得弧 AB 的长 100 900 500 1570 (mm), 180 l ? ? ? ? ? ? ? 因此所要求的展直长度 l =2 × 700+1570=2970 （ mm ） . 答：管道的展直长度为 2970mm ． 典例精析 100 ° A C B D O 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是 扇形 . O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 扇形及扇形的面积 二 概念学习 判一判： 下列图形是扇形吗？ S =π R 2 （ 2 ） 圆心角为 1 ° 的扇形的面积是多少 ? （ 3 ） 圆心角为 n ° 的扇形的面积是圆心角为 1 ° 的扇形 的面积的多少倍？ n 倍 （ 4 ） 圆心角为 n ° 的扇形的面积是多少 ? 思考 (1) 半径为 R 的圆 , 面积是多少？ 公式推导 2 360 R ? 2 360 n R ? 要点归纳 扇形面积公式 若设 ⊙ O 半径为 R ，圆心角为 n ° 的扇形的面积 ① 公式中 n 的意义． n 表示 1 ° 圆心角的倍数，它是不 带单位的； ② 公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆） . 注意 A B O 2 = 360 n R S ? 扇形 问题： 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 180 n R l ? ? 2 = 360 n R S ? 扇形 试一试 1. 扇形的弧长和面积都由 决定 . 扇形的半径与扇形的圆心角 2. 已知半径为 2cm 的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积 S 扇 = ． 4 3 ? 3. 已知扇形的圆心角为 120 ° ，半径为 2 ，则这个扇形的面积 S 扇 = . 2 4 cm 3 ? 4 3 ? 例 ： 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm ，其中水面高 0.3cm ，求截面上有水部分的面积 . （精确到 0.01cm ） 典例精析 (1) O . B A C 讨论： (1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一分？ 阴影部分 . O . B A C D (2) O. B A C D (3) (2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应 该怎样画出来？ 线段 DC . 过点 O 作 OD 垂直符号于 AB 并 长交圆 O 于 C . (3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积 = 扇形 OAB 的面积 - △ OAB 的面积 解：如图，连接 OA ， OB ，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D ， 交 AB 于点 C , 连接 AC . ∵ OC ＝ 0.6, DC ＝ 0.3, ∴ OD ＝ OC - DC ＝ 0.3 ， ∴ OD ＝ DC . 又 AD ⊥ DC ， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线， ∴ AC ＝ AO ＝ OC . 从而 ∠ AOD ＝ 60?, ∠ AOB =120?. O. B A C D (3) 有水部分的面积： S ＝ S 扇形 OAB - S Δ OAB 2 2 120 π 1 0.6 360 2 1 0.12 π 0.6 3 0.3 2 0.22(m ) AB OD ? ? ? ? ? ? ? ? ? O B A C D (3) ? S 弓形 = S 扇形 - S 三角形 ? S