2020高考人教版数学文总复习课件第六章 不等式推理与证明 6 3.ppt

第六章 不等式、推理与证明 第 3 节 基本不等式 考纲考情 考向预测 1. 了解基本不等式的证明过 程． 2. 会用基本不等式解决简单的 最大 ( 小 ) 值问题 . 从近三年高考情况来看，本节 一般不独立命题． 预测 2020 年 高考将会考查利用基本不等式 求最值或比较大小．与函数、 不等式或解析几何进行综合命 题，体现基本不等式的工具性 . 真题模拟演练 课堂探究 考点突破 课堂探究 考点突破 考点一 利用基本不等式求最值 角度 1 利用配凑法求最值 (1) 设 0 ＜ x ＜ 3 2 ，则函数 y ＝ 4 x (3 － 2 x ) 的最大值为 . 9 2 解析： y ＝ 4 x (3 － 2 x ) ＝ 2[2 x (3 － 2 x )] ≤ 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ＋ ? 3 － 2 x ? 2 2 ＝ 9 2 ，当且 仅当“ 2 x ＝ 3 － 2 x ，即 x ＝ 3 4 ”时，等号成立． ∵ 3 4 ∈ ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ， 3 2 ， ∴函数 y ＝ 4 x (3 － 2 x ) ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ＜ x ＜ 3 2 的最大值为 9 2 . (2) 函数 y ＝ x 2 ＋ 2 x － 1 ( x ＞ 1) 的最小值为 . 2 3 ＋ 2 解析： y ＝ x 2 ＋ 2 x － 1 ＝ ? x 2 － 2 x ＋ 1 ? ＋ ? 2 x － 2 ? ＋ 3 x － 1 ＝ ? x － 1 ? 2 ＋ 2 ? x － 1 ? ＋ 3 x － 1 ＝ ( x － 1) ＋ 3 x － 1 ＋ 2 ≥ 2 3 ＋ 2. 当且仅当 x － 1 ＝ 3 x － 1 ，即 x ＝ 3 ＋ 1 时，等号成立． 角度 2 利用常数代换法求最值 (2019· 烟台一模 ) 已知函数 y ＝ 1 ＋ log m x ( m ＞ 0 且 m ≠ 1) 的 图象恒过点 M ，若直线 x a ＋ y b ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 经过点 M ，则 a ＋ b 的最小 值为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 C 解析： 由函数的解析式可得 M (1,1) ， 即 1 a ＋ 1 b ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) ， 则 a ＋ b ＝ ( a ＋ b ) ? ? ? ? ? ? ? ? 1 a ＋ 1 b ＝ 2 ＋ b a ＋ a b ≥ 2 ＋ 2 b a · a b ＝ 4 ， 当且仅当 a ＝ b ＝ 2 时等号成立，所以 a ＋ b 的最小值为 4 ，故选 C ． 【条件探究】 将本典例条件变为“已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， a ＋ b ＝ 1 ”， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ＋ 1 a ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ＋ 1 b 的最小值为 . 9 解析： ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ＋ 1 a ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ＋ 1 b ＝ ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ＋ a ＋ b a ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ＋ a ＋ b b ＝ ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ＋ b a · ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ＋ a b ＝ 5 ＋ 2 ? ? ? ? ? ? ? ? b a ＋ a b ≥ 5 ＋ 4 ＝ 9. 当且仅当 a ＝ b ＝ 1 2 时，取等号． 角度 3 利用消元法求最值 已知正实数 a ， b 满足 a 2 － b ＋ 4 ≤ 0 ，则 u ＝ 2 a ＋ 3 b a ＋ b ( ) A ．有最大值 14 5 B ．有最小值 14 5 C ．有最小值 3 D ．有最大值 3 B 解析： ∵ a 2 － b ＋ 4 ≤ 0 ，∴ b ≥ a 2 ＋ 4 ， ∴ a ＋ b ≥ a 2 ＋ a ＋ 4. 又∵ a ， b ＞ 0 ，∴ a a ＋ b ≤ a a 2 ＋ a ＋ 4 ， ∴－ a a ＋ b ≥－ a a 2 ＋ a ＋ 4 ， ∴ u ＝ 2 a ＋ 3 b a ＋ b ＝ 3 － a a ＋ b ≥ 3 － a a 2 ＋ a ＋ 4 ＝ 3 － 1 a ＋ 4 a ＋