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专题13与圆有关的计算问题
【方法指导】
1.垂径定理:垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.
这类题中一般使用列方程的方法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.
2.圆心角与圆周角
(1)在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性,即:圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合.
(2)在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,这种基本技能技巧一定要掌握.
3.圆内接四边形:
(1)圆内接四边形的性质:①圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).(2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.
4. 正多边形的有关概念
①中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.
②正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径.
③中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
④边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
4.圆的有关计算:
(1)扇形的弧长l=;扇形的面积S==
(2)圆锥侧面展开图是一个扇形,扇形的半径等于圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
(3)阴影部分的面积计算常通过添加辅助线转化为规则图形的面积的计算.
【题型剖析】
【类型1】垂径定理及应用
【例1 】(2019?泰州一模)如图,C是以AB为直径的半圆O上任意一点,AB=3,则△ABC周长的最大值是( )
A.22+3 B.32+3 C.23+3
【分析】当点C在AB中点时,△ABC周长最大,然后根据AB=3计算即可.
【解析】∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2=32=9,
AC+BC=A
当S△ABC最大时,AC+BC最大,
∵S△ABC=12AB?CD
当点C在AB中点时,CD=CO=12AB
此时S△ABC最大,S△ABC=3
即AC+BC最大=9+4×
△ABC周长的最大值=AC+BC+AB=32+
故选:B.
【变式1-1】(2019?滨湖区一模)如图,在⊙O中,已知弦AB长为16cm,C为AB的中点,OC交AB于点M,且OM:MC=3:2,则CM长为( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
【分析】连接OA,根据垂径定理的推论得到OC⊥AB,根据垂径定理求出AM,根据勾股定理列式计算,得到答案.
【解析】连接OA,
∵C为AB的中点,
∴AC=
∴OC⊥AB,
∴AM=12AB=
设OM=3a,则CM=2a,
∴OC=5a,
由勾股定理得,OA2=AM2+OM2,即(5a)2=82+(3a)2,
解得,a=2(负值舍去),
则CM=2a=4(cm),
故选:B.
【变式1-2】(2019?吴兴区校级一模)如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】连接OA,根据垂径定理求出OM⊥AB,求出AM长,根据勾股定理求出OA即可.
【解析】连接OA,
∵⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,OM过O,
∴AM=BM=4,OM⊥AB,
∴由勾股定理得:OA=AM
故选:C.
【类型2】弧弦圆心角之间分关系
【例2】(2019?东台市模拟)如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB,D为圆周上一点,若BC的度数为50°,则∠ADC的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.50°
【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°,利用垂径定理得到AC=BC,然后根据圆周角定理计算∠
【解析】∵BC的度数为50°,
∴∠BOC=50°,
∵半径OC⊥AB,
∴AC=
∴∠ADC=12∠BOC=25
故选:B.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理和圆周角定理.
【变式2-1】(2019秋?连云港期中)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD,BC=3.劣弧BC沿弦BC翻折,刚好经过圆心O.当对角线BD最大时,则弦AB的长是( )
A.6 B.23 C.32 D.2
【分析】作OH⊥BC于H,连接OB,如图,利用垂径定理得到BH=12BC=32,再根据折叠的性质得到OH=12OB,则∠OBH=30°,于是可计算出OH=32,OB=3,接着利用BD为直径时,即BD=23时,对角线BD最大,根据圆周角得到此时∠BAD
【解析】作OH⊥BC于H,连接OB
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