同济大学 高数 极值和最值.ppt

第节 第九章 多元晶数的极值及其起法 多元函数的极值 最值应用问题 三、条件极值 3 HIGHER EDUCATION PRESS 多元函数的极值 定义:若函数z=f(xy)在点(x02y0)的某去心邻域 内有f(x,y)≤f(x,y)(或f(x,y)f(x,y) 则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值 统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点 例如 z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值; z=-x2+y2在点(0.0)有极大值 z=xy在点(0,0)无极值 FT HIGHER EDUCATION PRESS 例1已知函数∫(x,y)在点(00)的某个邻域内连续,且 f(x,y) 2=1,则(A) (A)点(0.0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(00)是∫(x,y)的极大值点 (C)点(00)是f(x,y)的极小值点 (D)根据条件无法判断点(O,0)是否为f(x,y)的极值点 提示:由题设f(x2y)-x (2003考研) 1+a,其中lm=0 ∫(x,y)=xy+(x2+y2)2+a·(x2+y2)2 在(00)的邻近∫(x,y)的正负由xy确定 FT HIGHER EDUCATION PRESS -0--6 定理1(必要条件)函数z=∫(x2y)在点(x2yo)存在 偏导数,且在该点取得极值,则有 fr(o, yo)=0,fy(o, yo)=0 证:因z=f(x,y)在点(x,yo)取得极值,故 z=f(x2yo)在x=xo取得极值 z=f(xy)在y=y取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明:使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如,2=xν有驻点(0,0),但在该点不取极值 FT HIGHER EDUCATION PRESS -08 定理2(充分条件)若函数z=f(x,y)在点(x,yo)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且 fx(xo,y0)=0,f,(x0,yo)=0 T A=fxr(xo, yo), B=fxy(xo, yo),C=fyy(xo, yo) A0时取极大值 则:1)当AC-B20时,具有极值 A0时取极小值 2)当AC-B20时,没有极值 3)当AC-B2=0时,不能确定,需另行讨论 证明见第九节(P121) FT HIGHER EDUCATION PRESS -08