(2020年编辑)初一奥数第11讲线段与角.pdf

欢迎来主页 第十一讲 线段与角 线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的 应用． 小明做作业需要买一些文具．在他家的左边 200 米处有一家文具店，他从家出发向文具 店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路 程？ 在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线 段的什么性质有关？ 钟表是大家熟悉的计时工具， 你可曾观察过在 2 点到 3 点之间什么时候时针与分针重合？ 什么时候时针与分针成 90°角？ 我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑 筋，对于留心观察、 勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机 会． 例 1 已知：AB ∶BC∶CD=2∶3 ∶4 ，E，F 分别是 AB和 CD的中点，且 EF=12厘米 (cm) ，求 AD的长( 如图 1－6) ． 分析 线段 EF是线段 AD 的一部分，题设给出了 EF 的 长度，只要知道线段 EF 占全线段 AD 的份额，就可求出 AD 的长了． 解 因为 AB ∶BC∶CD=2∶3 ∶4 ，E 是 AB 中点， F是 CD中点，将线段 AD 9 等分 (9=2+3+4) 且设每一份为一个单位，则 AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而 EF=EB+BC+CF=1+3+2=6， 例 2 在直线 l 上取 A ，B 两点，使 AB=10厘米，再在 l 上取一点 C，使 AC=2厘米， M，N 分别是 AB，AC中点．求 MN的长度 ( 如图 1－7) ． 分析 因为是在直线上取 C 点，因此有两种情形： C 点在 A 点的右侧或 C 点在 A 点的左侧． 解 若 C 点在 A 点的右侧 ( 即在线段 AB 上) ．因为 AC=2厘米， N 为 AC 中点，所以 AN=1 厘米；又 AB=10 厘米， M为 AB 中点，所以 AM=5厘米．则 MN=AM-AN=5-1=4(厘米 )( 如图 1－7(a)) ． 若 C 点在 A 点的左侧 ( 即在线段 BA延长线上 ) ，此时 MN=NA+AM=1+5=6(厘米 )( 如图 1 －7(b)) ． 线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高 层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线 最短． 例 3 如图 1－8 所示．在一条河流的北侧，有 A，B 两处牧场．每天清晨，羊群从 A 出发， 到河边饮水后， 折到 B 处放牧吃草．请问， 饮水处应设在河流的什么位置，从 A 到 B 羊群 行走的路程最短？ 精品文档 欢迎来主页 分析 将河流看作直线 l( 如图 1－9 所示 ) ．设羊群在河边的饮水点为 C＇，则羊群行走路 程为 AC＇+C＇B．设 A 关于直线 l 的对称点为 A＇，由对称性知 C＇A＇=C＇A． 因此，羊群行走的路程为 A＇C＇+C＇B． 线段 A＇C＇与 C ＇B 是连结点 A＇与点 B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点 A＇ 与点 B之间的线中，线段 A＇B最短．设线段 A＇B 与直线 l 交于 C．那么，C 点就是所选的最 好的饮水地点，下面我们来说明这一点． 解 作 A 关于直线 l 的对称点 A＇．连结 B，A＇，并设线段 BA＇与 l 交于 C．设 C＇是 l 上不同于 C 的另外一点，只要证明 AC＇+C＇B＞AC+CB① 即可． 利用线段基本性质及点关于直线的对称性知 AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇， 所以