线性规划问题的单纯形法求解(第3讲).ppt

内容提要 线性规划问题解的概念 线性规划问题的几何意义 线性规划问题的单纯形求解 单纯形法 单纯形法求解步骤： 1、找一个基可行解作为X0初始解 最容易得到的可行基是标准型线性规划的系数矩阵的单位矩阵。 2、求检验数，检验X0是否为最优解 （１）求检验数 将约束方程组的基变量的系数矩阵化为单位矩阵； 通过代入或加减乘除消元法将目标函数中的基变量消去，则非基变量的系数即为检验数． （２）最优解的判别 当检验数全部小于或等于0时， 该基可行解为最优解,求解可结束. 当存在正的检验数时,该基可行解就不是最优解,就要换到一个新的(与X0相邻的)基可行解（X1）． 3、换基（迭代） (1)确定进基变量:凡是检验数大于0的非基变量都可进基;但一般选择最大的检验数对应的变量进基。 (2)按最小比原则确定出基变量，就可得一新的（更接近于最优解的）基可行解（X1），对（X1）重复２－３的过程就可在有限步得到最优解，或判断出无最优解。 求解下列的线性规划 　max z=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5 x1+2x2+x3 =8 4x1 +x4 =16 1.12 4x2 +x5=12 x1,x2,x3,x4,x5≥0 解 ：1、求一个初始基可行解 可以看到x3,x4,x5的系数列向量组成一个单位矩阵，是约束方程组的一个可行基。 这些向量构成一个可行解基，对应的基可行解为x0=（0，0，8，16，12），基 对应于基B0的变量x3,x4,x5为基变量。 为求检验数，将约束方程组的基变量的系数矩阵化为单位矩阵可以得到 x3 + x1+2x2 =8 x4 +4x1 =16 x5 +4x2 =12 或 x3 =8 - x1-2x2 x4 =16-4x1 x5=12- 4x2 将上式代入目标函数z=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5得到 z=0+2x1+3x2。于是非基变量x1，x2的系数就为检验数，分别为2，3。 2、求对应于 X0的检验数 最优性判别 从目标函数可以看出，该基可行解X0=(0,0,8,16,12,)对应的目标值为0， 但是非基变量x1,x2的系数为正，因此只要增加x1或x2的值，（最大化的）目标函数就可以增加。 只要有正的检验数，该基可行解就不会是最优解，只有当全部的检验数都小于或等于零时，对应的基可行解才为最优解。 3、换基 （1）确定进基变量 凡是检验数大于0的非基变量都可进基;但一般选择最大的检验数对应的变量进基。 由于x2的系数为正，显然当x2增大，则目标函数z的值也增大。当x2 定为换入变量后，必须从x3,x4,x5中换出一个，并保证其余的变量都是非负，即x3,x4,x5≥0。 （2）确定出基变量 由于在下一个基可行解中，x1仍然为非基变量，x1=0，此时，得到 x3 =8 -2x2≥0 x4 =16≥0 x5=12-4x2≥0 从上式可以看出，x2的最大值只有选择x2=min(8/2,-，12/4)=3，才能使上式都成立。 当x2=3时，基变量x5=0，这就决定用x2去替换x5。因此x5为出基变量。 为了求得以x3,x4,x2为基变量的一个基可行解和相应的检验数，需将x2 与x5的位置对换。得到 X3 +2x2 =8 - x1 (1) x4 =16-4x1 (2) 4x2=12 - x5 (3) 用消元法，得： x3 =2- x1 +1/2x5 (1)‘ x4 =16-4x1 (2)‘ x2=3 -1/4 x5 (3)‘ 再将上式代入目标函数得到 z=9+2x1-3/4x5 令非基变量x1=x5=0，得到另一个基可行解X(1)=(0,3,2,16,0)T。 将基可行解X(1)的值代入目标函数得z=9. 从目标函数中可看出,非基变量x1,x5检验数分别为2，-3/4。 X(1)不是最优解。 再换基，得到另一个基可行解X(2)=(2,3,0,8,0)。仍不是最优解，继续迭代。最后得到： X(3)=(4,2,0,0,4)。 此时目标函数z=14-3/2x3-1/8x4。得最优解。 初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解，首先找出初始可