飞行管理问题7讲课资料.ppt

题 目 在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假设条件如下： 假设条件 (1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km； (2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30°； (3)所有飞机飞行速度均为800km/h； (4)进入该区域的飞机在达到区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km以上； (5)最多需考虑6架飞机； (6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。 飞机位置、飞行方向数据 设该区域4个顶点的坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据如表所示： 飞机编号 横坐标X 纵坐标Y 方向角(°) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 VI I III II V IV 160km 160km 飞行位置示意图 这表面上是一个有6个控制对象的最优控制问题，控制方案太多，似乎很难寻优。 但仔细分析这并不是空间优化问题，只考虑10000米高空的面包片；因而是平面问题。而实际上对每架飞机而言是一维问题，因为只有旋转角度问题，故有可能简化。 这个有六个控制对象的最优控制问题可以利用平面几何的知识证明两个简单结论,从而转化为非线性优化问题。 早调整一定优于晚调整。这样第六架飞机刚进入正方形时就调整，由于时刻确定，问题就简化为优化问题。 结论一： A F D B E C 证：飞机处于A，飞行方向AB，到达B会与另一架飞机相撞，至少调整到AC才可能避免相撞。若飞行至D再调整，仍需飞向C才可能避免相撞，幅度为∠BDF＞∠BAC，实际幅度为∠EDB＞∠BDF。因此早调整一定优于晚调整。 一次调整到位，优于多次调整。 结论二： 证：分两次调整，幅度∠BAD+∠ODC ＞ ∠BAO+∠DAC= ∠ BAC。进一步可以用数学归纳法证明一次调整到位优于多次调整。 A F D O E C B 这样原问题的调整时刻确定，无须考虑时间因素，问题转化为一般优化问题。 一般优化问题的数学模型都是由两部分组成，即优化的目标函数和必须满足的约束条件。 目标函数可以根据实际问题作出多种选择。 一、目标函数 幅度最小用数学语言精确表示，至少有四种函数 表示第i架飞机的调整方向角。 其中， 二、约束条件 表示第i架飞机飞出正方形区域的时刻。 其中， 这个非线性优化问题可以利用物理上的相对运动原理化为一族线性优化问题，即把一个物体看成不动，另一物体对它作相对运动。 因为目标函数是分段线性 的，约束条件是关于坐标的平方，并不是 的非线性函数，因此有可能转化为线性优化问题。 三、非线性模型化为线性模型 Pi Pj 相对运动及相对速度示意图 利用相对运动原理可以将坐标的非线性约束等价转换为飞行方向角的线性约束。 任给两架飞机 和 ，让坐标系固定在 上， 在新坐标系下的运动即 对 的相对运动，显然， 与 在 相撞（不考虑正方形区域限制）的充要条件是 的方向 见上图，其中 相对速度方向不落在这个扇形内，就一定是安全的。 相对速度方向 禁飞方向扇形 当Pj的飞行方向不变时，因为Vi=Vj=800km/h，所以相对速度Vij方向由Pi的飞行方向角θi唯一决定，且根据矢量法则是θi的线性函数 因此原来关于坐标的非线性约束转化为飞行方向角增量的线性约束： 或者 或者 目标函数可以从前三个任选一个。这样线性规划模型其中一个如下： 可惜的是，这样的线性规划太多了，有215个（虽然很多肯定无解，可以不讨论）。 四、由多维问题转化为一维优化问题 或问题的解 或问题的解 一定不能落在这个区间中 由这5个不等式可以定出五个禁飞方向角区间，可在数轴上表示如下： 禁飞方向角度区间示意图 55.6295 I II III IV VI V 18.5811 26.3631 27.5192 42.6319 43.5515 47.5073 52.7909 53.0716 65.0308 第一种目标函数下肯定要进行调整，因为不调整，第6架飞机与第3、5架飞机相撞,因此至少调整一架且只有调整第6架,否则第6架仍与其中一架飞机相撞,若调整第6架仅有两个方向：逆时针需要调整13.04度,顺时针需要调整8.45