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第二节 一阶可分离变量型微分方程 一、可分离变量的微分方程 dx x f dy y g ) ( ) ( ? 可分离变量的微分方程 . 5 4 2 2 y x dx dy ? 例如 , 2 2 5 4 dx x dy y ? ? ? 解法 设函数 ) ( y g 和 ) ( x f 是连续的 , ? ? ? dx x f dy y g ) ( ) ( 设函数 ) ( y G 和 ) ( x F 是依次为 ) ( y g 和 ) ( x f 的原函 数 , C x F y G ? ? ) ( ) ( 为微分方程的通解 . 分离变量法 例 1 求解微分方程 . 1 2 2 的通解 及 x xy dx dy xy dx dy ? ? ? 解 分离变量 , 2 xdx y dy ? 两端积分 , 2 ? ? ? xdx y dy 1 2 ln C x y ? ? . 2 为所求通解 x ce y ? ? 例题 又 , 1 2 x xdx y dy ? ? 两端积分 , 1 2 ? ? ? ? x xdx y dy C x y ln ) 1 ln( 2 1 ln 2 ? ? ? . 1 2 为所求通解 x c y ? ? ? . 0 ) ( ) ( 2 通解 求方程 例 ? ? xdy xy g ydx xy f , xy u ? 令 , ydx xdy du ? ? 则 , 0 ) ( ) ( ? ? ? ? x ydx du x u g ydx u f , 0 ) ( )] ( ) ( [ ? ? ? du u g dx x u u g u f , 0 )] ( ) ( [ ) ( ? ? ? du u g u f u u g x dx . )] ( ) ( [ ) ( | | ln C du u g u f u u g x ? ? ? ? 通解为 解 例 3 衰变问题 : 衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正比 , 已知 0 0 M M t ? ? , 求衰变过程中铀含量 ) ( t M 随时间 t 变化的规律 . 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 ) 0 ( 衰变系数 ? ? ? ? ? M dt dM dt M dM ? ? ? , ? ? ? ? ? dt M dM 0 0 M M t ? ? 代入 , ln ln c t M ? ? ? ? , t ce M ? ? ? 即 0 0 ce M ? 得 , C ? t e M M ? ? ? ? 0 衰变规律 ) ( 求 积成正比,比例常数 和未掌握新技术人数之 数 化率与已掌握新技术人 连续可微变量),其变 视为 (将 已掌握新技术的人数为 任意时刻 ,在 该人群的总人数为 新技术的人进行的,设 术是通过其中已掌握 在某一个群中推广新技 例 97 ). ( , 0 ) ( ) ( 4 t x k t x t x t N ? ) ( ) ( x N kx t x ? ? ? 解: 0 0 x x t ? ? ? ? ? ? dt x N kx dx ) ( kNt kNt Ce NCe x ? ? ? 1 0 0 x N x C ? ? 代入初始条件,得 kNt kNt e x x N e Nx x 0 0 0 ? ? ? ? 例 4 有高为 1 米的半球形容器 , 水从它的底部小 孔流出 , 小孔横截面积为 1 平方厘米 ( 如图 ). 开始 时容器内盛满了水 , 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度 h ( 水面与孔口中心间的距离 ) 随时 间 t 的变化规律 . 解 由力学知识得 , 水从孔口流 出的流量为 , 2 62 . 0 gh S dt dV Q ? ? ? 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 cm 100 h o r h dh h ? ) 1 ( , 2 62 . 0 dt gh dV ? ? 设在微小的时间间隔 ], , [ t t t ? ? 水面的高度由 h 降至 , h h ? ? , 2 dh r dV ? ? ? 则 , 200 ) 100 ( 100 2 2 2 h h h r ? ? ? ? ? ? ) 2 ( , ) 200 ( 2 dh h h dV ? ? ? ? ? 比较 (1) 和 (2) 得 : dh h h ) 200 ( 2 ? ? ? , 2 62 . 0 dt gh ? 1 ? S ? , cm 2 dh h h ) 200 ( 2 ? ? ? , 2 62 . 0 dt gh ? 即为未知函数的微分方程 . 可分离变量 , ) 200
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